Номер 1, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 1, страница 84.

Условие.

Повторяем теорию

1. Заполните пропуски.

1) Если $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, то $x_1 + x_2 = $ _________, $x_1x_2 = $ _________

2) Если $x_1$ и $x_2$ — корни приведённого квадратного уравнения $x^2 + bx + c = 0$, то $x_1 + x_2 = $ _________, $x_1x_2 = $ _________

3) Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна ______________________________________________ коэффициенту, __________________________________________________, а произведение корней равно ________________________________________________

4) Если числа $\alpha$ и $\beta$ таковы, что $\alpha + \beta = $ _________ и $\alpha\beta = $ _________, то эти числа являются корнями квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

5) Если числа $\alpha$ и $\beta$ таковы, что $\alpha + \beta = $ _________ и $\alpha\beta = $ _________, то эти числа являются корнями _______________________________________ квадратного уравнения $x^2 + bx + c = 0$.

Решение.

1)

Данный пункт относится к теореме Виета для полного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$. Согласно этой теореме, если $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения, то их сумма и произведение выражаются через коэффициенты уравнения следующим образом:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1x_2 = \frac{c}{a}$

Ответ: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, $x_1x_2 = \frac{c}{a}$.

2)

Приведённое квадратное уравнение — это частный случай полного, где старший коэффициент $a=1$. Уравнение имеет вид $x^2 + bx + c = 0$. Формулы Виета для него упрощаются, так как деление на $a=1$ не изменяет значения.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{1} = -b$

Произведение корней: $x_1x_2 = \frac{c}{1} = c$

Ответ: $x_1 + x_2 = -b$, $x_1x_2 = c$.

3)

Этот пункт представляет собой словесную формулировку теоремы Виета для приведённого квадратного уравнения ($x^2 + bx + c = 0$).

Сумма корней равна $-b$. Коэффициент $b$ является вторым коэффициентом уравнения. Следовательно, сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком.

Произведение корней равно $c$. Коэффициент $c$ является свободным членом уравнения.

Ответ: Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

4)

Здесь требуется применить теорему, обратную теореме Виета, для общего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Она гласит, что если существуют два числа, сумма и произведение которых равны соответственно $-\frac{b}{a}$ и $\frac{c}{a}$, то эти числа являются корнями данного уравнения.

Ответ: $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ и $\alpha\beta = \frac{c}{a}$.

5)

Это теорема, обратная теореме Виета, для приведённого квадратного уравнения $x^2 + bx + c = 0$. Если сумма чисел $\alpha$ и $\beta$ равна $-b$, а их произведение равно $c$, то они являются корнями данного уравнения.

Таким образом, пропуски для суммы и произведения должны быть заполнены значениями $-b$ и $c$.

Третий пропуск ("...являются корнями ___ квадратного уравнения...") скорее всего, должен быть заполнен словом "приведённого", чтобы подчеркнуть, о каком типе уравнения идет речь.

Ответ: $\alpha + \beta = -b$ и $\alpha\beta = c$, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения $x^2 + bx + c = 0$.