Номер 6, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 6, страница 86.

Условие.

6. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Заполните таблицу.

a	b	c	$x_1$	$x_2$
2		-6	-1,5
-3	7		3
5	8			0,6

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Согласно этой теореме, для корней $x_1$ и $x_2$ выполняются следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Будем последовательно находить недостающие значения для каждой строки таблицы.

Строка 1

Даны значения: $a = 2$, $c = -6$, $x_1 = -1,5$. Необходимо найти $b$ и $x_2$.

1. Сначала найдем второй корень $x_2$, используя формулу произведения корней:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Подставим известные значения:

$-1,5 \cdot x_2 = \frac{-6}{2}$

$-1,5 \cdot x_2 = -3$

$x_2 = \frac{-3}{-1,5} = 2$

2. Теперь, зная оба корня, найдем коэффициент $b$ по формуле суммы корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Подставим известные значения:

$-1,5 + 2 = -\frac{b}{2}$

$0,5 = -\frac{b}{2}$

$b = -0,5 \cdot 2 = -1$

Ответ: в первой строке $b = -1$, $x_2 = 2$.

Строка 2

Даны значения: $a = -3$, $b = 7$, $x_1 = 3$. Необходимо найти $c$ и $x_2$.

1. Найдем второй корень $x_2$, используя формулу суммы корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Подставим известные значения:

$3 + x_2 = -\frac{7}{-3}$

$3 + x_2 = \frac{7}{3}$

$x_2 = \frac{7}{3} - 3 = \frac{7}{3} - \frac{9}{3} = -\frac{2}{3}$

2. Теперь, зная оба корня, найдем коэффициент $c$ по формуле произведения корней:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Подставим известные значения:

$3 \cdot (-\frac{2}{3}) = \frac{c}{-3}$

$-2 = \frac{c}{-3}$

$c = -2 \cdot (-3) = 6$

Ответ: во второй строке $c = 6$, $x_2 = -2/3$.

Строка 3

Даны значения: $a = 5$, $b = 8$, $x_2 = 0,6$. Необходимо найти $c$ и $x_1$.

1. Найдем первый корень $x_1$, используя формулу суммы корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Подставим известные значения:

$x_1 + 0,6 = -\frac{8}{5}$

$x_1 + 0,6 = -1,6$

$x_1 = -1,6 - 0,6 = -2,2$

2. Теперь, зная оба корня, найдем коэффициент $c$ по формуле произведения корней:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Подставим известные значения:

$-2,2 \cdot 0,6 = \frac{c}{5}$

$-1,32 = \frac{c}{5}$

$c = -1,32 \cdot 5 = -6,6$

Ответ: в третьей строке $c = -6,6$, $x_1 = -2,2$.