Номер 13, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 13, страница 89.

Условие.

13. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - (2a - 3)x + a^2 - 4 = 0$. Найдите значение $a$, при которых верно равенство $3x_1 + 3x_2 = x_1x_2$.

Решение.

По теореме Виета $x_1 + x_2 = 2a - 3$, $x_1x_2 = a^2 - 4$.

Тогда $3(2a - 3) = a^2 - 4$.

Ответ:

Решение.

Дано квадратное уравнение $x^2 - (2a - 3)x + a^2 - 4 = 0$. По условию, $x_1$ и $x_2$ являются корнями этого уравнения, и для них выполняется равенство $3x_1 + 3x_2 = x_1x_2$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - (2a - 3)x + a^2 - 4 = 0$ коэффициенты равны:
$p = -(2a - 3)$
$q = a^2 - 4$

Применяя теорему Виета, находим сумму и произведение корней:
$x_1 + x_2 = -(-(2a - 3)) = 2a - 3$
$x_1 \cdot x_2 = a^2 - 4$

Теперь подставим полученные выражения в заданное равенство $3x_1 + 3x_2 = x_1x_2$.
Сначала преобразуем левую часть: $3(x_1 + x_2) = x_1x_2$.
Теперь выполним подстановку:
$3(2a - 3) = a^2 - 4$

Мы получили уравнение относительно параметра $a$. Решим его:
$6a - 9 = a^2 - 4$
$a^2 - 6a - 4 + 9 = 0$
$a^2 - 6a + 5 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $a$. Его корни можно найти, например, разложением на множители. Произведение корней равно 5, а их сумма равна 6. Это числа 1 и 5.
$(a - 1)(a - 5) = 0$
Следовательно, возможные значения для $a$ — это $a_1 = 1$ и $a_2 = 5$.

Важно проверить, при каких из найденных значений $a$ исходное уравнение имеет действительные корни. Для этого его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).
$D = (-(2a - 3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 4)$
$D = (2a - 3)^2 - 4(a^2 - 4)$
$D = (4a^2 - 12a + 9) - (4a^2 - 16)$
$D = 4a^2 - 12a + 9 - 4a^2 + 16 = -12a + 25$

Условие $D \ge 0$ дает нам неравенство:
$-12a + 25 \ge 0$
$25 \ge 12a$
$a \le \frac{25}{12}$

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные значения $a$ этому условию.
1. При $a = 1$:
$1 \le \frac{25}{12}$. Это неравенство верно, так как $1 = \frac{12}{12}$. Значит, $a=1$ является решением.
2. При $a = 5$:
$5 \le \frac{25}{12}$. Это неравенство неверно, так как $5 = \frac{60}{12}$, а $\frac{60}{12} > \frac{25}{12}$. Значит, при $a=5$ исходное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, единственное значение параметра $a$, удовлетворяющее всем условиям задачи, это $a=1$.
Ответ: $1$.