Номер 4, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трёхчлен - номер 4, страница 91.

Условие.

4. Сократите дробь:

1) $\frac{8x + 8}{x^2 + 4x + 3}$

Решение.

Разложим на множители квадратный трёхчлен, являющийся знаменателем данной дроби:

$x^2 + 4x + 3 = 0;$

$x_1 = -1, x_2 = -3;$

$x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3).$

Тогда получаем: $\frac{8x + 8}{x^2 + 4x + 3} = \frac{8(x + 1)}{(x + 1)(x + 3)} = $

2) $\frac{a^2 - 16a + 60}{2a - 12}$

3) $\frac{x^2 - 2x}{x^2 - 9x + 14}$

Решение.

Решение.

Решение.

1) Завершим решение, показанное в примере. После разложения числителя и знаменателя на множители, мы получаем выражение:

$\frac{8x + 8}{x^2 + 4x + 3} = \frac{8(x + 1)}{(x + 1)(x + 3)}$

Сократим общий множитель $(x + 1)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x \neq -1$):

$\frac{8\cancel{(x + 1)}}{\cancel{(x + 1)}(x + 3)} = \frac{8}{x + 3}$

Ответ: $\frac{8}{x + 3}$

2) $\frac{a^2 - 16a + 60}{2a - 12}$

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

Для числителя $a^2 - 16a + 60$ найдем корни квадратного уравнения $a^2 - 16a + 60 = 0$.
Используем теорему Виета: сумма корней $a_1 + a_2 = 16$, а их произведение $a_1 \cdot a_2 = 60$. Подбором находим корни $a_1 = 6$ и $a_2 = 10$.
Следовательно, $a^2 - 16a + 60 = (a - 6)(a - 10)$.

В знаменателе $2a - 12$ вынесем общий множитель 2 за скобки: $2a - 12 = 2(a - 6)$.

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(a - 6)$:

$\frac{a^2 - 16a + 60}{2a - 12} = \frac{(a - 6)(a - 10)}{2(a - 6)} = \frac{a - 10}{2}$

Сокращение возможно при $a - 6 \neq 0$, то есть $a \neq 6$.

Ответ: $\frac{a - 10}{2}$

3) $\frac{x^2 - 2x}{x^2 - 9x + 14}$

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

В числителе $x^2 - 2x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x^2 - 2x = x(x - 2)$.

Для знаменателя $x^2 - 9x + 14$ найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 9x + 14 = 0$.
Используем теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 9$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 14$. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 7$.
Следовательно, $x^2 - 9x + 14 = (x - 2)(x - 7)$.

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(x - 2)$:

$\frac{x^2 - 2x}{x^2 - 9x + 14} = \frac{x(x - 2)}{(x - 2)(x - 7)} = \frac{x}{x - 7}$

Сокращение возможно при $x - 2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

Ответ: $\frac{x}{x - 7}$