Номер 9, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трёхчлен - номер 9, страница 96.

Условие.

9. Постройте график функции:

1) $y = \frac{x^2 - 7x + 10}{x - 2}$

Решение.

Данная функция определена при всех

значениях x, кроме

Найдём корни трёхчлена $x^2 - 7x + 10:$

$x^2 - 7x + 10 = 0;$

$x_1 = 2; x_2 = 5.$

Имеем: $\frac{x^2 - 7x + 10}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x - 5)}{x - 2} = x - 5,$

то есть $y = x - 5$, где $x \neq$

2) $y = \frac{x^2 + x - 12}{x + 4} + \frac{x^2 - 2x - 3}{x - 3}$

Решение.

Решение.

1)

Дана функция $y = \frac{x^2 - 7x + 10}{x - 2}$.

Область определения функции — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Таким образом, $x - 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.

Упростим выражение, разложив числитель на множители. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 - 7x + 10 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 7$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 10$. Отсюда находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.

Тогда числитель можно представить в виде $x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)$.

Подставим разложение в исходную функцию:

$y = \frac{(x - 2)(x - 5)}{x - 2}$

Поскольку $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на $(x - 2)$, получив линейную функцию:

$y = x - 5$

Графиком данной функции является прямая $y = x - 5$ с одной "выколотой" точкой, соответствующей значению $x = 2$. Чтобы найти координаты этой точки, подставим $x = 2$ в уравнение прямой: $y = 2 - 5 = -3$.

Таким образом, точка с координатами $(2, -3)$ не принадлежит графику.

Для построения прямой $y = x - 5$ найдем координаты двух любых точек, например, точек пересечения с осями координат. При $x = 0$, $y = -5$, получаем точку $(0, -5)$. При $y = 0$, $x = 5$, получаем точку $(5, 0)$.

График — это прямая, проходящая через точки $(0, -5)$ и $(5, 0)$, на которой выколота точка $(2, -3)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=x-5$ с выколотой точкой $(2, -3)$.

2)

Дана функция $y = \frac{x^2 + x - 12}{x + 4} + \frac{x^2 - 2x - 3}{x - 3}$.

Найдем область определения функции. Знаменатели дробей не должны быть равны нулю, поэтому имеем два условия: $x + 4 \neq 0$ и $x - 3 \neq 0$. Отсюда $x \neq -4$ и $x \neq 3$.

Упростим каждое слагаемое, разложив числители на множители.

Для первой дроби $\frac{x^2 + x - 12}{x + 4}$: корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$. Тогда $x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4)$. Сокращая дробь при $x \neq -4$, получаем: $\frac{(x - 3)(x + 4)}{x + 4} = x - 3$.

Для второй дроби $\frac{x^2 - 2x - 3}{x - 3}$: корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$. Тогда $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$. Сокращая дробь при $x \neq 3$, получаем: $\frac{(x - 3)(x + 1)}{x - 3} = x + 1$.

Теперь сложим упрощенные выражения:

$y = (x - 3) + (x + 1) = 2x - 2$

Графиком исходной функции является прямая $y = 2x - 2$ с двумя выколотыми точками, соответствующими значениям $x = -4$ и $x = 3$.

Найдем координаты этих точек:

При $x = -4$, $y = 2(-4) - 2 = -8 - 2 = -10$. Координаты первой выколотой точки: $(-4, -10)$.

При $x = 3$, $y = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$. Координаты второй выколотой точки: $(3, 4)$.

Для построения прямой $y = 2x - 2$ найдем координаты двух точек на ней. При $x = 0$, $y = -2$, получаем точку $(0, -2)$. При $y = 0$, $2x = 2$, $x = 1$, получаем точку $(1, 0)$.

График — это прямая, проходящая через точки $(0, -2)$ и $(1, 0)$, на которой выколоты точки $(-4, -10)$ и $(3, 4)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=2x-2$ с выколотыми точками $(-4, -10)$ и $(3, 4)$.