Номер 3, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 3, страница 98.

Условие.

3. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2 - 4x}{x - 9} = \frac{2x + 27}{x - 9}$,

Решение.

Данное уравнение равносильно системе

$\begin{cases} x^2 - 4x = 2x + 27, \\ x - 9 \ne 0. \end{cases}$

Ответ:

2) $\frac{x^2 + x}{x + 5} = \frac{15 - x}{x + 5}$,

Решение.

Ответ:

3) $\frac{5x^2 - x - 2}{x - 2} - \frac{3x^2 - 4x + 12}{x - 2} = 0$;

Решение.

Представим левую часть уравнения в виде дроби:

$\frac{5x^2 - x - 2 - 3x^2 + 4x - 12}{x - 2} = 0$;

Полученное уравнение равносильно системе

Ответ:

4) $\frac{8x^2 - 3x}{2x - 1} - \frac{3x - 1}{2x - 1} = 0$;

Решение.

Ответ:

5) $\frac{8x + 2}{x + 3} = 3x$;

Решение.

Имеем: $\frac{8x + 2}{x + 3} - \frac{x+3}{x+3}3x = 0$;

$\frac{8x + 2 - 3x^2 - 9x}{x + 3} = 0$;

Ответ:

6) $\frac{16}{x^2} - 5 = \frac{11}{x}$;

Ответ:

Решение.

1)

Данное уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 - 4x = 2x + 27, \\ x - 9 \neq 0. \end{cases} $
Решим первое уравнение системы, перенеся все члены в левую часть:
$x^2 - 4x - 2x - 27 = 0$
$x^2 - 6x - 27 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета или через дискриминант.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 = 12^2$.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 12}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 12}{2} = \frac{18}{2} = 9$
Второе условие системы $x - 9 \neq 0$, следовательно, $x \neq 9$.
Корень $x_2 = 9$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним.
Единственным решением является $x = -3$.

Ответ: -3.

2)

Данное уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 + x = 15 - x, \\ x + 5 \neq 0. \end{cases} $
Решим первое уравнение системы:
$x^2 + x + x - 15 = 0$
$x^2 + 2x - 15 = 0$
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Второе условие системы $x + 5 \neq 0$, следовательно, $x \neq -5$.
Корень $x_1 = -5$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним.
Единственным решением является $x = 3$.

Ответ: 3.

3)

Представим левую часть уравнения в виде дроби, так как знаменатели одинаковы:
$\frac{(5x^2 - x - 2) - (3x^2 - 4x + 12)}{x - 2} = 0$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{5x^2 - x - 2 - 3x^2 + 4x - 12}{x - 2} = 0$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{2x^2 + 3x - 14}{x - 2} = 0$
Полученное уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} 2x^2 + 3x - 14 = 0, \\ x - 2 \neq 0. \end{cases} $
Решим первое уравнение системы:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121 = 11^2$.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -3,5$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
Второе условие системы $x - 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.
Корень $x_2 = 2$ является посторонним.
Единственным решением является $x = -3,5$.

Ответ: -3,5.

4)

Область допустимых значений (ОДЗ): $2x - 1 \neq 0 \implies x \neq 0,5$.
Объединим дроби, так как у них общий знаменатель:
$\frac{(8x^2 - 3x) - (3x - 1)}{2x - 1} = 0$
$\frac{8x^2 - 3x - 3x + 1}{2x - 1} = 0$
$\frac{8x^2 - 6x + 1}{2x - 1} = 0$
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен. Решим уравнение:
$8x^2 - 6x + 1 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 36 - 32 = 4 = 2^2$.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 2}{16} = \frac{4}{16} = 0,25$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 2}{16} = \frac{8}{16} = 0,5$
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0,5$).
Корень $x_2 = 0,5$ является посторонним.
Решением является $x = 0,25$.

Ответ: 0,25.

5)

ОДЗ: $x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$.
Перенесем $3x$ в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{8x + 2}{x + 3} - 3x = 0$
$\frac{8x + 2 - 3x(x+3)}{x + 3} = 0$
$\frac{8x + 2 - 3x^2 - 9x}{x + 3} = 0$
$\frac{-3x^2 - x + 2}{x + 3} = 0$
Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} -3x^2 - x + 2 = 0, \\ x + 3 \neq 0. \end{cases} $
Решим первое уравнение, умножив его на -1 для удобства:
$3x^2 + x - 2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Оба корня, -1 и $\frac{2}{3}$, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -1; $\frac{2}{3}$.

6)

ОДЗ: $x \neq 0$.
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$\frac{16}{x^2} - \frac{11}{x} - 5 = 0$
Приведем к общему знаменателю $x^2$:
$\frac{16 - 11x - 5x^2}{x^2} = 0$
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен. Решим уравнение:
$-5x^2 - 11x + 16 = 0$
Умножим на -1:
$5x^2 + 11x - 16 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-16) = 121 + 320 = 441 = 21^2$.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 - 21}{10} = \frac{-32}{10} = -3,2$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 + 21}{10} = \frac{10}{10} = 1$
Оба корня, -3,2 и 1, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -3,2; 1.