Номер 9, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 9, страница 112.

Условие.

9. Решите уравнение:

1) $(x^2 + x + 2)(x^2 + x + 4) = 24$;

Решение.

Пусть $x^2 + x + 3 = t$. Тогда $x^2 + x + 2 = t - 1$, $x^2 + x + 3 = $

Получаем: $(t - 1)(\quad) = 24$;

Ответ:

2) $(x^2 + 4x - 1)(x^2 + 4x + 3) = 32$;

Решение.

Ответ:

3) $\frac{2x + 1}{x} + \frac{4x}{2x + 1} = 5$;

Решение.

Пусть $\frac{2x + 1}{x} = t$. Тогда $\frac{4x}{2x + 1} = \frac{4}{t}$. Получаем: $t + \frac{4}{t} = 5$.

Ответ:

4) $\frac{2 - x}{x + 3} - \frac{6x + 18}{2 - x} = 1$.

Решение.

Ответ:

Решение.

1) $(x^2 + x + 2)(x^2 + x + 4) = 24$
Решение.
Заметим, что выражения в скобках похожи. Сделаем замену.
Пусть $x^2 + x + 3 = t$. Тогда $x^2 + x + 2 = t - 1$ и $x^2 + x + 4 = t + 1$.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$(t - 1)(t + 1) = 24$
$t^2 - 1 = 24$
$t^2 = 25$
Отсюда получаем два возможных значения для $t$: $t_1 = 5$ и $t_2 = -5$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$ для каждого случая.
1. Если $t = 5$:
$x^2 + x + 3 = 5$
$x^2 + x - 2 = 0$
Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$.
2. Если $t = -5$:
$x^2 + x + 3 = -5$
$x^2 + x + 8 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 1 - 32 = -31$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.
Следовательно, решениями исходного уравнения являются только корни из первого случая.
Ответ: -2; 1.

2) $(x^2 + 4x - 1)(x^2 + 4x + 3) = 32$
Решение.
Сделаем замену, чтобы упростить уравнение.
Пусть $x^2 + 4x = t$.
Подставим новую переменную в уравнение:
$(t - 1)(t + 3) = 32$
Раскроем скобки: $t^2 + 3t - t - 3 = 32$.
$t^2 + 2t - 3 = 32$
$t^2 + 2t - 35 = 0$
Используя теорему Виета, находим корни: $t_1 = 5$, $t_2 = -7$.
Вернемся к исходной переменной $x$.
1. Если $t = 5$:
$x^2 + 4x = 5$
$x^2 + 4x - 5 = 0$
По теореме Виета находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -5$.
2. Если $t = -7$:
$x^2 + 4x = -7$
$x^2 + 4x + 7 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Таким образом, решениями исходного уравнения являются только корни из первого случая.
Ответ: -5; 1.

3) $\frac{2x + 1}{x} + \frac{4x}{2x + 1} = 5$
Решение.
Определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны равняться нулю, поэтому $x \neq 0$ и $2x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -0.5$.
Заметим, что второе слагаемое является производным от первого. Сделаем замену.
Пусть $\frac{2x + 1}{x} = t$. Тогда $\frac{x}{2x + 1} = \frac{1}{t}$, и, следовательно, второе слагаемое $\frac{4x}{2x + 1} = 4 \cdot \frac{x}{2x + 1} = \frac{4}{t}$.
Подставим в исходное уравнение:
$t + \frac{4}{t} = 5$
Умножим обе части уравнения на $t$ (при $t \neq 0$, что выполняется, т.к. $2x+1 \neq 0$):
$t^2 + 4 = 5t$
$t^2 - 5t + 4 = 0$
По теореме Виета находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$.
Вернемся к замене.
1. Если $t = 1$:
$\frac{2x + 1}{x} = 1$
$2x + 1 = x$
$x = -1$. Корень удовлетворяет ОДЗ.
2. Если $t = 4$:
$\frac{2x + 1}{x} = 4$
$2x + 1 = 4x$
$2x = 1$
$x = 0.5$. Корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: -1; 0,5.

4) $\frac{2 - x}{x + 3} - \frac{6x + 18}{2 - x} = 1$
Решение.
Определим область допустимых значений (ОДЗ): $x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$ и $2 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.
Преобразуем числитель второго слагаемого: $6x + 18 = 6(x + 3)$.
Уравнение примет вид: $\frac{2 - x}{x + 3} - \frac{6(x + 3)}{2 - x} = 1$.
Сделаем замену. Пусть $\frac{2 - x}{x + 3} = t$. Тогда $\frac{x + 3}{2 - x} = \frac{1}{t}$.
Подставим в уравнение:
$t - 6 \cdot \frac{1}{t} = 1$
$t - \frac{6}{t} = 1$
Умножим обе части на $t$ (при $t \neq 0$, что выполняется, т.к. $2-x \neq 0$):
$t^2 - 6 = t$
$t^2 - t - 6 = 0$
По теореме Виета находим корни: $t_1 = 3$, $t_2 = -2$.
Вернемся к замене.
1. Если $t = 3$:
$\frac{2 - x}{x + 3} = 3$
$2 - x = 3(x + 3)$
$2 - x = 3x + 9$
$4x = -7$
$x = -\frac{7}{4} = -1.75$. Корень удовлетворяет ОДЗ.
2. Если $t = -2$:
$\frac{2 - x}{x + 3} = -2$
$2 - x = -2(x + 3)$
$2 - x = -2x - 6$
$x = -8$. Корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: -8; -1,75.