Номер 4, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций - номер 4, страница 119.

Условие.

4. Лодка проплыла 12 км против течения реки и 15 км по течению, затратив на путь по течению на 15 мин меньше, чем на путь против течения. Скорость течения составляет 2 км/ч. Найдите скорость лодки по течению.

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть собственная скорость лодки равна $x$ км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки равна $(x + 2)$ км/ч, а скорость лодки против течения реки равна $(x - 2)$ км/ч. Для того чтобы лодка могла плыть против течения, её собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 2$.

Время, затраченное лодкой на путь в 12 км против течения, составляет $t_{против} = \frac{12}{x - 2}$ часов.

Время, затраченное лодкой на путь в 15 км по течению, составляет $t_{по} = \frac{15}{x + 2}$ часов.

По условию задачи, на путь по течению было затрачено на 15 минут меньше, чем на путь против течения. Переведем 15 минут в часы: $15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч}$.

Составим уравнение, отражающее это условие:

$t_{против} - t_{по} = \frac{1}{4}$

$\frac{12}{x - 2} - \frac{15}{x + 2} = \frac{1}{4}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(x - 2)(x + 2)$:

$\frac{12(x + 2) - 15(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{1}{4}$

$\frac{12x + 24 - 15x + 30}{x^2 - 4} = \frac{1}{4}$

$\frac{54 - 3x}{x^2 - 4} = \frac{1}{4}$

Используя свойство пропорции, получим:

$4(54 - 3x) = 1(x^2 - 4)$

$216 - 12x = x^2 - 4$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 12x - 4 - 216 = 0$

$x^2 + 12x - 220 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-220) = 144 + 880 = 1024$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + 32}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - 32}{2 \cdot 1} = \frac{-44}{2} = -22$

Корень $x_2 = -22$ не имеет физического смысла, так как скорость не может быть отрицательной. Следовательно, собственная скорость лодки составляет $10$ км/ч. Это значение удовлетворяет условию $x > 2$.

В задаче требуется найти скорость лодки по течению. Вычислим её:

$v_{по} = x + 2 = 10 + 2 = 12$ км/ч.

Ответ: 12 км/ч.