Номер 9, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций - номер 9, страница 123.

Условие.

9. Масса двух кусков латуни равна 60 кг. Первый кусок содержит 10 кг чистой меди, а второй — 8 кг. Каково процентное содержание меди в первом куске, если содержание меди во втором куске на 15% больше содержания меди в первом куске?

Решение.

Пусть масса первого куска равна $x$ кг, тогда масса второго куска равна кг.

Масса меди в первом куске составляет $\frac{10}{x}$ часть массы всего куска.

Масса меди во втором куске составляет часть массы всего куска, что на $15\% = \frac{15}{100} = \frac{3}{20}$ больше, чем $\frac{10}{x}$.

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть масса первого куска латуни равна $x$ кг. Поскольку общая масса двух кусков составляет 60 кг, то масса второго куска будет равна $(60 - x)$ кг.

Концентрация меди (массовая доля) в первом куске определяется как отношение массы меди к массе всего куска. Обозначим ее $p_1$:

$p_1 = \frac{10}{x}$

Аналогично, концентрация меди во втором куске, $p_2$, равна:

$p_2 = \frac{8}{60 - x}$

Согласно условию, содержание меди во втором куске на 15% больше, чем в первом. Это означает, что разница между концентрациями составляет 15 процентных пунктов, или 0,15. Запишем это в виде уравнения:

$p_2 = p_1 + 0.15$

Теперь подставим в это уравнение выражения для $p_1$ и $p_2$:

$\frac{8}{60 - x} = \frac{10}{x} + 0.15$

Для решения этого уравнения приведем его к общему знаменателю или избавимся от дробей. Умножим обе части уравнения на $x(60 - x)$, чтобы избавиться от знаменателей. Предполагаем, что $x \neq 0$ и $x \neq 60$, что верно по смыслу задачи.

$8x = 10(60 - x) + 0.15x(60 - x)$

$8x = 600 - 10x + 9x - 0.15x^2$

$8x = 600 - x - 0.15x^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$0.15x^2 + 8x + x - 600 = 0$

$0.15x^2 + 9x - 600 = 0$

Чтобы упростить вычисления, умножим все уравнение на 100, чтобы избавиться от десятичной дроби, а затем разделим на 15:

$15x^2 + 900x - 60000 = 0 \quad | :15$

$x^2 + 60x - 4000 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 60^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4000) = 3600 + 16000 = 19600$

Найдем корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{-60 + \sqrt{19600}}{2 \cdot 1} = \frac{-60 + 140}{2} = \frac{80}{2} = 40$

$x_2 = \frac{-60 - \sqrt{19600}}{2 \cdot 1} = \frac{-60 - 140}{2} = \frac{-200}{2} = -100$

Так как масса куска не может быть отрицательной, корень $x_2 = -100$ не подходит по условию задачи. Таким образом, масса первого куска латуни равна 40 кг.

Теперь найдем процентное содержание меди в первом куске:

$\text{Процентное содержание} = p_1 \times 100\% = \frac{10}{x} \times 100\% = \frac{10}{40} \times 100\% = 0.25 \times 100\% = 25\%$

Ответ: 25%.