Номер 3, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций - номер 3, страница 118.

Условие.

3. Лодка проплывает 9 км по течению реки и 1 км против течения за время, необходимое плоту, чтобы проплыть 4 км по этой реке. Найдите скорость течения, если собственная скорость лодки составляет 8 км/ч.

Решение.

Пусть скорость течения равна $x$ км/ч. Тогда скорость лодки по течению равна $8+x$ км/ч, а против течения — $8-x$ км/ч.

Плот плывёт по течению реки со скоростью, равной скорости течения, и проплывает 4 км за $\frac{4}{x}$ ч. Лодка проплывает 9 км по течению за $\frac{9}{8+x}$ ч, а 1 км против течения — за $\frac{1}{8-x}$ ч.

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть скорость течения реки равна $x$ км/ч. Собственная скорость лодки, согласно условию, составляет 8 км/ч.

Когда лодка плывет по течению, ее скорость складывается со скоростью течения и равна $v_{по} = (8+x)$ км/ч.

Когда лодка плывет против течения, ее скорость равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = (8-x)$ км/ч. Для того чтобы лодка могла плыть против течения, ее собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $8 > x$.

Плот движется со скоростью течения, то есть $x$ км/ч. Время, за которое плот проплывет 4 км, можно найти по формуле $t = \frac{S}{v}$:
$t_{плота} = \frac{4}{x}$ ч.

Время, которое лодка затратила на 9 км по течению, составляет:
$t_1 = \frac{9}{8+x}$ ч.

Время, которое лодка затратила на 1 км против течения, составляет:
$t_2 = \frac{1}{8-x}$ ч.

Общее время движения лодки равно сумме времени движения по течению и против течения:
$t_{лодки} = t_1 + t_2 = \frac{9}{8+x} + \frac{1}{8-x}$ ч.

По условию задачи, общее время движения лодки равно времени движения плота, $t_{лодки} = t_{плота}$. На основе этого составим уравнение:
$\frac{9}{8+x} + \frac{1}{8-x} = \frac{4}{x}$

Решим это уравнение. Сначала приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(8+x)(8-x) = 64-x^2$:
$\frac{9(8-x) + 1(8+x)}{(8+x)(8-x)} = \frac{4}{x}$
$\frac{72 - 9x + 8 + x}{64 - x^2} = \frac{4}{x}$
$\frac{80 - 8x}{64 - x^2} = \frac{4}{x}$

Теперь воспользуемся основным свойством пропорции («крест-накрест»):
$x(80 - 8x) = 4(64 - x^2)$
$80x - 8x^2 = 256 - 4x^2$

Перенесем все члены уравнения в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$0 = 8x^2 - 4x^2 - 80x + 256$
$4x^2 - 80x + 256 = 0$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 4:
$x^2 - 20x + 64 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней через дискриминант.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 400 - 256 = 144$.
$\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Мы получили два положительных корня. Однако, как было отмечено ранее, скорость течения $x$ должна быть меньше собственной скорости лодки (8 км/ч).
Корень $x_1 = 16$ не удовлетворяет условию $x < 8$, поэтому он является посторонним решением для данной задачи.
Корень $x_2 = 4$ удовлетворяет условию $4 < 8$.

Следовательно, скорость течения реки равна 4 км/ч.

Ответ: 4 км/ч.