Номер 12, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 12, страница 116.

Условие.

12. При каких значениях $a$ уравнение $\frac{x^2 - ax + 9}{x - 2} = 0$ имеет единственный корень?

Решение.

Данное уравнение равносильно системе $\begin{cases} x^2 - ax + 9 = 0, \\ x \neq 2 \end{cases}$ и будет иметь один корень, если уравнение, входящее в систему, будет иметь ____________________________ , отличный от числа _________ , или ________________________________ , один из которых будет равен _________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

Ответ: _______________________________________________

Решение.

Данное уравнение равносильно системе $ \begin{cases} x^2 - ax + 9 = 0, \\ x \neq 2 \end{cases} $и будет иметь один корень, если уравнение, входящее в систему, будет иметь один корень, отличный от числа 2, или два различных корня, один из которых будет равен 2.

Рассмотрим последовательно эти два случая.

Случай 1: Квадратное уравнение $x^2 - ax + 9 = 0$ имеет единственный корень.

Единственный корень (два совпадающих корня) квадратное уравнение имеет в том случае, когда его дискриминант $D$ равен нулю.

$D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = a^2 - 36$.

Приравняем дискриминант к нулю и решим уравнение относительно $a$:

$a^2 - 36 = 0$

$a^2 = 36$

$a_1 = 6, a_2 = -6$.

Теперь необходимо проверить, что для найденных значений $a$ корень уравнения $x^2 - ax + 9 = 0$ не равен 2. При $D=0$ корень находится по формуле $x = \frac{-(-a)}{2} = \frac{a}{2}$.

- Если $a=6$, то корень $x = \frac{6}{2} = 3$. Условие $x \neq 2$ выполняется. Значит, $a=6$ является решением.

- Если $a=-6$, то корень $x = \frac{-6}{2} = -3$. Условие $x \neq 2$ выполняется. Значит, $a=-6$ является решением.

Случай 2: Квадратное уравнение $x^2 - ax + 9 = 0$ имеет два различных корня, один из которых равен 2.

Если $x=2$ является корнем, то при подстановке этого значения в уравнение оно должно обратиться в верное равенство. Найдем $a$:

$2^2 - a \cdot 2 + 9 = 0$

$4 - 2a + 9 = 0$

$13 - 2a = 0$

$a = \frac{13}{2} = 6.5$.

При этом значении $a$ уравнение должно иметь два различных корня, то есть дискриминант должен быть строго больше нуля. Проверим это условие:

$D = a^2 - 36 = (6.5)^2 - 36 = 42.25 - 36 = 6.25$.

Так как $D = 6.25 > 0$, при $a=6.5$ уравнение $x^2 - 6.5x + 9 = 0$ действительно имеет два различных корня. Один из них, как мы и задали, равен 2. Второй корень по теореме Виета равен $x_2 = \frac{9}{x_1} = \frac{9}{2} = 4.5$.

Итак, при $a=6.5$ квадратное уравнение имеет корни $x_1=2$ и $x_2=4.5$. Поскольку исходное уравнение имеет ограничение $x \neq 2$, корень $x=2$ исключается, и остается единственный корень $x=4.5$. Следовательно, значение $a=6.5$ также является решением.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем все искомые значения параметра $a$.

Ответ: $-6; 6; 6.5$.