Номер 2, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций - номер 2, страница 117.

Условие.

2. Расстояние от пункта А до пункта В по железной дороге равно 105 км, а по реке – 150 км. Поезд из пункта А выходит на 2 ч позже теплохода и прибывает в пункт В на 15 мин раньше. Найдите скорость поезда, если она на 30 км/ч больше скорости теплохода.

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть $x$ км/ч – скорость теплохода. Согласно условию, скорость поезда на 30 км/ч больше, следовательно, она составляет $(x + 30)$ км/ч.

Расстояние, которое проезжает поезд, равно 105 км. Время, затраченное поездом на путь, составляет $t_{поезда} = \frac{S_{поезда}}{v_{поезда}} = \frac{105}{x+30}$ ч.

Расстояние, которое проходит теплоход, равно 150 км. Время, затраченное теплоходом на путь, составляет $t_{теплохода} = \frac{S_{теплохода}}{v_{теплохода}} = \frac{150}{x}$ ч.

Поезд выходит на 2 часа позже теплохода и прибывает на 15 минут раньше. Это означает, что общее время в пути у поезда меньше, чем у теплохода. Найдем разницу во времени:

2 ч + 15 мин = $2 + \frac{15}{60}$ ч = $2 + \frac{1}{4}$ ч = $2.25$ ч, или $\frac{9}{4}$ ч.

Таким образом, время движения теплохода было на $\frac{9}{4}$ часа больше времени движения поезда. Составим уравнение:

$t_{теплохода} - t_{поезда} = \frac{9}{4}$

$\frac{150}{x} - \frac{105}{x+30} = \frac{9}{4}$

Умножим обе части уравнения на $4x(x+30)$, чтобы избавиться от знаменателей (при условии, что $x>0$):

$150 \cdot 4(x+30) - 105 \cdot 4x = 9x(x+30)$

$600(x+30) - 420x = 9x^2 + 270x$

$600x + 18000 - 420x = 9x^2 + 270x$

$180x + 18000 = 9x^2 + 270x$

Перенесем все члены в правую часть:

$9x^2 + 270x - 180x - 18000 = 0$

$9x^2 + 90x - 18000 = 0$

Разделим уравнение на 9 для упрощения:

$x^2 + 10x - 2000 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2000) = 100 + 8000 = 8100$

$\sqrt{D} = \sqrt{8100} = 90$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-10 + 90}{2} = \frac{80}{2} = 40$

$x_2 = \frac{-10 - 90}{2} = \frac{-100}{2} = -50$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -50$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость теплохода $x = 40$ км/ч.

Теперь найдем скорость поезда:

$v_{поезда} = x + 30 = 40 + 30 = 70$ км/ч.

Ответ: 70 км/ч.