Номер 7, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций - номер 7, страница 121.

Условие.

7. Два подъёмных крана разгрузили баржу за 15 ч, причём первый кран приступил к работе на 7 ч позднее второго. Первый кран, работая самостоятельно, может разгрузить баржу на 5 ч быстрее второго. За сколько часов может разгрузить баржу каждый кран, работая самостоятельно?

Решение.

Пусть первый кран может разгрузить баржу самостоятельно за $x$ ч, тогда второй — за ________ ч. За 1 ч первый кран разгружает $\frac{1}{x}$ часть баржи, а второй — ________ часть баржи. Первый кран работал $15 - 7 = 8$ (ч) и разгрузил ________ часть баржи.

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть первый кран, работая самостоятельно, может разгрузить баржу за $x$ часов. Согласно условию, он выполняет эту работу на 5 часов быстрее второго. Следовательно, второму крану для самостоятельной разгрузки баржи потребуется $x + 5$ часов.

Определим производительность (скорость работы) каждого крана. Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени (1 час).

• Производительность первого крана: $\frac{1}{x}$ часть баржи в час.
• Производительность второго крана: $\frac{1}{x+5}$ часть баржи в час.

Общее время разгрузки составило 15 часов. Второй кран работал всё это время. Первый кран приступил к работе на 7 часов позже второго, значит, время его работы составило:

$15 - 7 = 8$ часов.

Теперь найдем объем работы, выполненный каждым краном. Объем работы равен произведению производительности на время работы.

• Работа, выполненная первым краном: $8 \cdot \frac{1}{x} = \frac{8}{x}$ часть баржи.
• Работа, выполненная вторым краном: $15 \cdot \frac{1}{x+5} = \frac{15}{x+5}$ часть баржи.

Работая вместе, они разгрузили всю баржу, что составляет 1 целую. Сумма выполненной ими работы равна 1. Составим уравнение:

$\frac{8}{x} + \frac{15}{x+5} = 1$

Для решения уравнения приведем левую часть к общему знаменателю $x(x+5)$, при условии, что $x > 0$:

$\frac{8(x+5) + 15x}{x(x+5)} = 1$

$8(x+5) + 15x = x(x+5)$

Раскроем скобки:

$8x + 40 + 15x = x^2 + 5x$

Приведем подобные слагаемые:

$23x + 40 = x^2 + 5x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 5x - 23x - 40 = 0$

$x^2 - 18x - 40 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 324 + 160 = 484$

$\sqrt{D} = \sqrt{484} = 22$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 + 22}{2 \cdot 1} = \frac{40}{2} = 20$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 - 22}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2$

Поскольку $x$ обозначает время, оно не может быть отрицательным. Поэтому корень $x_2 = -2$ не является решением задачи. Следовательно, время самостоятельной работы первого крана составляет 20 часов.

Время самостоятельной работы второго крана составляет:

$x + 5 = 20 + 5 = 25$ часов.

Ответ: первый кран может разгрузить баржу за 20 часов, а второй кран — за 25 часов.