Номер 11, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций - номер 11, страница 125.

Условие.

11. Три каменщика могут совместно сложить стену за 2 ч 40 мин. Первый из них, работая один, может сложить эту стену вдвое быстрее второго и на 2 ч быстрее третьего. За сколько часов каждый из них, работая отдельно, может сложить стену?

Решение.

Пусть первый каменщик может самостоятельно сложить стену за

$x$ ч. Тогда второму для этого требуется

ч, а третьему —

ч. За 1 ч первый каменщик складывает $\frac{1}{x}$ часть стены,

второй —

часть стены, а третий —

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть первый каменщик может самостоятельно сложить стену за $x$ ч. Согласно условию, он работает вдвое быстрее второго, значит, второму требуется в два раза больше времени, то есть $2x$ ч. Также первый работает на 2 ч быстрее третьего, значит, третьему требуется на 2 часа больше времени, чем первому, то есть $x+2$ ч.

За 1 ч первый каменщик складывает $\frac{1}{x}$ часть стены, второй — $\frac{1}{2x}$ часть стены, а третий — $\frac{1}{x+2}$ часть стены.

По условию, работая вместе, они складывают стену за 2 ч 40 мин. Переведем это время в часы: $2$ ч $40$ мин $= 2 + \frac{40}{60}$ ч $= 2 + \frac{2}{3}$ ч $= \frac{8}{3}$ ч.
Их совместная производительность (часть работы в час) равна $1 \div \frac{8}{3} = \frac{3}{8}$ стены в час.

Составим уравнение, сложив производительности каждого каменщика и приравняв к их совместной производительности:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{8}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $2x(x+2)$:

$\frac{2(x+2)}{2x(x+2)} + \frac{x+2}{2x(x+2)} + \frac{2x}{2x(x+2)} = \frac{3}{8}$

$\frac{2x+4+x+2+2x}{2x^2+4x} = \frac{3}{8}$

$\frac{5x+6}{2x^2+4x} = \frac{3}{8}$

Используем свойство пропорции:

$8(5x+6) = 3(2x^2+4x)$

$40x + 48 = 6x^2 + 12x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$6x^2 + 12x - 40x - 48 = 0$

$6x^2 - 28x - 48 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$3x^2 - 14x - 24 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-24) = 196 + 288 = 484 = 22^2$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 22}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 22}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

Поскольку время ($x$) не может быть отрицательным, подходит только корень $x=6$.

Итак, первый каменщик может сложить стену за 6 часов.
Тогда второму потребуется: $2x = 2 \cdot 6 = 12$ часов.
А третьему потребуется: $x+2 = 6+2 = 8$ часов.

Ответ:

Первый каменщик может сложить стену за 6 часов, второй — за 12 часов, третий — за 8 часов.