Номер 5, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций - номер 5, страница 120.

Условие.

5. Первая мастерская должна сшить 270 костюмов, а вторая — 300 костюмов. Мастерские начали работать одновременно, но вторая мастерская завершила выполнение заказа на 3 дня раньше первой. По сколько костюмов в день шила каждая мастерская, если вторая мастерская шила в день на 7 костюмов больше первой?

Решение.

Пусть первая мастерская шила ежедневно $x$ костюмов, тогда вто- рая — $x+7$ костюмов. Первая мастерская выполнила заказ за $\frac{270}{x}$ дней, а вторая — за $\frac{300}{x+7}$ дней.

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть первая мастерская шила ежедневно $x$ костюмов. Поскольку вторая мастерская шила в день на 7 костюмов больше, её производительность составляла $(x+7)$ костюмов в день.

Время, которое потребовалось первой мастерской для выполнения заказа на 270 костюмов, равно $\frac{270}{x}$ дней.

Время, которое потребовалось второй мастерской для выполнения заказа на 300 костюмов, равно $\frac{300}{x+7}$ дней.

Из условия известно, что вторая мастерская справилась с работой на 3 дня раньше первой. Следовательно, разница во времени выполнения заказов составляет 3 дня. Составим и решим уравнение:

$\frac{270}{x} - \frac{300}{x+7} = 3$

Область допустимых значений для $x$ — $x > 0$, так как $x$ — это количество производимых костюмов.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x+7)$:

$\frac{270(x+7) - 300x}{x(x+7)} = 3$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{270x + 1890 - 300x}{x(x+7)} = 3$

$\frac{1890 - 30x}{x^2 + 7x} = 3$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $x^2 + 7x$:

$1890 - 30x = 3(x^2 + 7x)$

$1890 - 30x = 3x^2 + 21x$

Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3x^2 + 21x + 30x - 1890 = 0$

$3x^2 + 51x - 1890 = 0$

Разделим все коэффициенты уравнения на 3 для упрощения:

$x^2 + 17x - 630 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 17^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-630) = 289 + 2520 = 2809$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-17 \pm \sqrt{2809}}{2 \cdot 1}$

Так как $\sqrt{2809} = 53$, то:

$x_1 = \frac{-17 + 53}{2} = \frac{36}{2} = 18$

$x_2 = \frac{-17 - 53}{2} = \frac{-70}{2} = -35$

Корень $x_2 = -35$ не удовлетворяет условию задачи, так как производительность (количество костюмов в день) не может быть отрицательной. Следовательно, производительность первой мастерской составляет $x = 18$ костюмов в день.

Теперь найдем производительность второй мастерской:

$x + 7 = 18 + 7 = 25$ костюмов в день.

Проверим полученный результат: первая мастерская работала $\frac{270}{18} = 15$ дней, а вторая — $\frac{300}{25} = 12$ дней. Разница составляет $15 - 12 = 3$ дня, что соответствует условию задачи.

Ответ: первая мастерская шила 18 костюмов в день, а вторая — 25 костюмов в день.