Номер 10, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций - номер 10, страница 124.

Условие.

10. Водно-солевой раствор содержал 4 кг соли. Через некоторое время 4 кг воды испарились, вследствие чего концентрация соли в растворе увеличилась на 5%. Какова была начальная масса раствора?

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть $x$ кг — начальная масса водно-солевого раствора. Масса соли в растворе постоянна и составляет 4 кг.
Начальная концентрация соли в растворе (доля соли от общей массы) равна:
$C_1 = \frac{4}{x}$
После испарения 4 кг воды, масса раствора уменьшилась и стала равной $(x - 4)$ кг. Масса соли при этом не изменилась.
Новая концентрация соли в растворе стала:
$C_2 = \frac{4}{x - 4}$
По условию задачи, концентрация соли увеличилась на 5%, что в долях составляет 0,05. Таким образом, разница между новой и начальной концентрацией равна 0,05:
$C_2 - C_1 = 0,05$
Подставим в это уравнение выражения для $C_1$ и $C_2$, чтобы составить уравнение относительно $x$:
$\frac{4}{x - 4} - \frac{4}{x} = 0,05$
Для решения приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(x - 4)$:
$\frac{4x - 4(x - 4)}{x(x - 4)} = 0,05$
$\frac{4x - 4x + 16}{x^2 - 4x} = 0,05$
$\frac{16}{x^2 - 4x} = 0,05$
Выразим знаменатель $x^2 - 4x$:
$x^2 - 4x = \frac{16}{0,05}$
$x^2 - 4x = 320$
Перенесем 320 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 4x - 320 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 4, а их произведение равно -320. Подбором находим корни:
$x_1 = 20$
$x_2 = -16$
Поскольку масса раствора не может быть отрицательной, корень $x_2 = -16$ не удовлетворяет условию задачи.
Следовательно, единственно верное решение — $x = 20$.
Таким образом, начальная масса раствора составляла 20 кг.

Ответ: 20 кг.