Номер 11, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 11, страница 115.

Условие.

11. Для каждого значения а решите уравнение $ \frac{x^2 - (5a + 4)x + 20a}{x - 15} = 0. $

Решение.

Данное уравнение равносильно системе $ \begin{cases} x^2 - (5a + 4)x + 20a = 0, \\ x \neq 15. \end{cases} $

Найдём корни уравнения, входящего в систему.

$D = (5a + 4)^2 - 4 \cdot 20a = $

Ответ:

Решение.

Решение.

Данное уравнение представляет собой дробь, которая равна нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе:

$ \begin{cases} x^2 - (5a + 4)x + 20a = 0, \\ x - 15 \neq 0. \end{cases} $

Из второго условия следует, что $x \neq 15$.

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - (5a + 4)x + 20a = 0$ относительно переменной $x$.
Для этого вычислим дискриминант:

$D = (-(5a + 4))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20a = (5a + 4)^2 - 80a$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$D = (25a^2 + 2 \cdot 5a \cdot 4 + 16) - 80a = 25a^2 + 40a + 16 - 80a = 25a^2 - 40a + 16$.

Заметим, что полученное выражение является полным квадратом:

$D = (5a - 4)^2$.

Поскольку $D = (5a - 4)^2 \ge 0$ при любых значениях параметра $a$, квадратное уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдём корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{(5a + 4) \pm \sqrt{(5a - 4)^2}}{2} = \frac{(5a + 4) \pm (5a - 4)}{2}$.

Находим два корня:

$x_1 = \frac{5a + 4 + (5a - 4)}{2} = \frac{10a}{2} = 5a$.

$x_2 = \frac{5a + 4 - (5a - 4)}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Теперь необходимо проверить, при каких значениях $a$ найденные корни удовлетворяют условию $x \neq 15$.

1. Проверим корень $x_2 = 4$.
Так как $4 \neq 15$, этот корень является решением исходного уравнения при любом значении $a$.

2. Проверим корень $x_1 = 5a$.
Этот корень будет посторонним (недопустимым), если он равен 15. Найдём, при каком значении $a$ это произойдет:

$5a = 15 \implies a = 3$.

Таким образом, если $a = 3$, то корень $x=5a$ не является решением. Если $a \neq 3$, то $x=5a$ является решением.

Подведём итог и сформулируем ответ в зависимости от значения параметра $a$.

- Если $a = 3$, корень $x_1=5a=15$ не удовлетворяет условию $x \neq 15$. Единственным решением в этом случае является $x_2=4$.
- Если $a \neq 3$, то оба корня, $x_1=5a$ и $x_2=4$, являются решениями уравнения. Стоит отметить, что при $5a = 4$, то есть при $a = \frac{4}{5}$ (что не равно 3), корни совпадают: $x_1 = x_2 = 4$. В этом случае уравнение имеет один корень.

Ответ:

при $a = 3$, $x = 4$;
при $a \neq 3$, $x_1 = 4, x_2 = 5a$.