Номер 4, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 4, страница 102.

Условие.

4. Решите уравнение:

1) $x - 9\sqrt{x} + 8 = 0$;

Решение.

Пусть $\sqrt{x} = t$. Тогда $x = t^2$. Получаем: $t^2 - 9t + 8 = 0$.

Ответ:

2) $6x - 31\sqrt{x} + 5 = 0$;

Решение.

Ответ:

3) $7\sqrt{x} - 2 + 4x = 0$.

Решение.

Ответ:

Решение.

1) $x - 9\sqrt{x} + 8 = 0;$

Решение.

Данное уравнение является биквадратным относительно $\sqrt{x}$. Введем замену переменной. Область допустимых значений (ОДЗ) для $x$: $x \ge 0$.

Пусть $\sqrt{x} = t$. Так как корень арифметический, должно выполняться условие $t \ge 0$. Тогда $x = (\sqrt{x})^2 = t^2$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$t^2 - 9t + 8 = 0$

Получили стандартное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49$

$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Оба корня ($t_1 = 1$ и $t_2 = 8$) удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

1. Для $t_1 = 1$:
$\sqrt{x} = 1$
$x_1 = 1^2 = 1$

2. Для $t_2 = 8$:
$\sqrt{x} = 8$
$x_2 = 8^2 = 64$

Оба найденных значения $x$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; 64$.

2) $6x - 31\sqrt{x} + 5 = 0;$

Решение.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Введем замену переменной: пусть $\sqrt{x} = t$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Подставим $t$ в уравнение:

$6t^2 - 31t + 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-31)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5 = 961 - 120 = 841$

$\sqrt{D} = \sqrt{841} = 29$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{31 - 29}{2 \cdot 6} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{31 + 29}{2 \cdot 6} = \frac{60}{12} = 5$

Оба корня ($t_1 = \frac{1}{6}$ и $t_2 = 5$) положительные, значит удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1. Для $t_1 = \frac{1}{6}$:
$\sqrt{x} = \frac{1}{6}$
$x_1 = (\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{36}$

2. Для $t_2 = 5$:
$\sqrt{x} = 5$
$x_2 = 5^2 = 25$

Ответ: $\frac{1}{36}; 25$.

3) $7\sqrt{x} - 2 + 4x = 0;$

Решение.

Перепишем уравнение в стандартном виде: $4x + 7\sqrt{x} - 2 = 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Введем замену переменной: пусть $\sqrt{x} = t$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Подставим $t$ в уравнение:

$4t^2 + 7t - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81$

$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{-16}{8} = -2$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

$t_1 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $-2 < 0$. Этот корень является посторонним.

$t_2 = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условию, так как $\frac{1}{4} \ge 0$.

Выполним обратную замену для единственного подходящего корня $t_2 = \frac{1}{4}$:

$\sqrt{x} = \frac{1}{4}$
$x = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$

Ответ: $\frac{1}{16}$.