Номер 6, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трёхчлен - номер 6, страница 93.

Условие.

6. Сократите дробь:

1) $\frac{c^2 - 16c + 63}{c^2 - 81}$;

Решение.

2) $\frac{3 + 14a - 5a^2}{3a - a^2}$;

Решение.

3) $\frac{4b^2 + 7b - 2}{3 - 11b - 4b^2}$.

Решение.

Решение.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{c^2 - 16c + 63}{c^2 - 81}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Разложим на множители числитель $c^2 - 16c + 63$. Это квадратный трехчлен. Найдем его корни, решив уравнение $c^2 - 16c + 63 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $16$, а их произведение равно $63$. Подбором находим корни: $c_1 = 7$ и $c_2 = 9$.

Следовательно, разложение числителя на множители: $c^2 - 16c + 63 = (c - 7)(c - 9)$.

Разложим на множители знаменатель $c^2 - 81$. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$c^2 - 81 = c^2 - 9^2 = (c - 9)(c + 9)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общий множитель $(c-9)$:

$\frac{c^2 - 16c + 63}{c^2 - 81} = \frac{(c - 7)(c - 9)}{(c - 9)(c + 9)} = \frac{c - 7}{c + 9}$.

Сокращение возможно при условии, что $c - 9 \neq 0$, то есть $c \neq 9$.

Ответ: $\frac{c - 7}{c + 9}$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{3 + 14a - 5a^2}{3a - a^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Сначала разложим на множители числитель $3 + 14a - 5a^2$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $-5a^2 + 14a + 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 14^2 - 4(-5)(3) = 196 + 60 = 256 = 16^2$.

Найдем корни уравнения:

$a_1 = \frac{-14 + 16}{2(-5)} = \frac{2}{-10} = -\frac{1}{5}$

$a_2 = \frac{-14 - 16}{2(-5)} = \frac{-30}{-10} = 3$

Разложение числителя на множители: $-5(a - (-\frac{1}{5}))(a - 3) = -5(a + \frac{1}{5})(a - 3) = -(5a + 1)(a - 3) = (5a + 1)(3 - a)$.

Теперь разложим на множители знаменатель $3a - a^2$. Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$3a - a^2 = a(3 - a)$.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $(3 - a)$:

$\frac{3 + 14a - 5a^2}{3a - a^2} = \frac{(5a + 1)(3 - a)}{a(3 - a)} = \frac{5a + 1}{a}$.

Сокращение возможно при условии, что $a \neq 0$ и $3 - a \neq 0$, то есть $a \neq 3$.

Ответ: $\frac{5a + 1}{a}$.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{4b^2 + 7b - 2}{3 - 11b - 4b^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим на множители числитель $4b^2 + 7b - 2$. Найдем корни уравнения $4b^2 + 7b - 2 = 0$.

Дискриминант: $D = 7^2 - 4(4)(-2) = 49 + 32 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения:

$b_1 = \frac{-7 + 9}{2(4)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$b_2 = \frac{-7 - 9}{2(4)} = \frac{-16}{8} = -2$

Разложение числителя: $4(b - \frac{1}{4})(b - (-2)) = (4b - 1)(b + 2)$.

Теперь разложим на множители знаменатель $3 - 11b - 4b^2$. Найдем корни уравнения $-4b^2 - 11b + 3 = 0$.

Дискриминант: $D = (-11)^2 - 4(-4)(3) = 121 + 48 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения:

$b_1 = \frac{11 + 13}{2(-4)} = \frac{24}{-8} = -3$

$b_2 = \frac{11 - 13}{2(-4)} = \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4}$

Разложение знаменателя: $-4(b - (-3))(b - \frac{1}{4}) = -4(b + 3)(b - \frac{1}{4}) = -(b + 3)(4b - 1)$.

Подставим разложения в дробь и выполним сокращение на общий множитель $(4b-1)$:

$\frac{4b^2 + 7b - 2}{3 - 11b - 4b^2} = \frac{(4b - 1)(b + 2)}{-(b + 3)(4b - 1)} = \frac{b + 2}{-(b + 3)} = -\frac{b + 2}{b + 3}$.

Сокращение возможно при условии, что $4b - 1 \neq 0$, то есть $b \neq \frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{b + 2}{b + 3}$.