Номер 14, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 14, страница 89.

Условие.

14. Найдите значения $a$, при которых сумма корней уравнения $x^2 - (a^2 + 3a)x + 4 - a = 0$ равна 4.

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.
Данное уравнение $x^2 - (a^2 + 3a)x + 4 - a = 0$ является квадратным. Чтобы оно имело действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).
Согласно теореме Виета, сумма корней $x_1$ и $x_2$ приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при $x$, взятому с обратным знаком. В данном уравнении:
$x_1 + x_2 = -(-(a^2 + 3a)) = a^2 + 3a$.
По условию задачи, сумма корней равна 4. Составим и решим уравнение относительно $a$:
$a^2 + 3a = 4$
$a^2 + 3a - 4 = 0$
Решая это квадратное уравнение (например, с помощью разложения на множители или через дискриминант), находим два возможных значения $a$:
$(a+4)(a-1) = 0$
$a_1 = 1$, $a_2 = -4$.
Теперь необходимо проверить, при каких из этих значений $a$ исходное уравнение имеет действительные корни. Для этого проверим условие $D \ge 0$.
Дискриминант исходного уравнения:
$D = (-(a^2 + 3a))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4 - a) = (a^2 + 3a)^2 - 16 + 4a$.
Так как мы рассматриваем только те значения $a$, для которых $a^2 + 3a = 4$, мы можем подставить это равенство в выражение для дискриминанта:
$D = 4^2 - 16 + 4a = 16 - 16 + 4a = 4a$.
Условие существования действительных корней $D \ge 0$ принимает вид:
$4a \ge 0$, что равносильно $a \ge 0$.
Теперь проверим найденные значения $a$ на соответствие этому условию:
1. При $a = 1$: условие $1 \ge 0$ выполняется. Следовательно, $a=1$ является решением.
2. При $a = -4$: условие $-4 \ge 0$ не выполняется. Следовательно, при $a=-4$ исходное уравнение не имеет действительных корней.
Таким образом, единственное значение параметра, удовлетворяющее всем условиям задачи, это $a=1$.
Ответ: 1.