Номер 9, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 9, страница 87.

Условие.

9. Корни уравнения $x^2 + 24x + c = 0$ относятся как $5 : 7$. Найдите корни уравнения и число $c$.

Решение.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного уравнения, $x_1 : x_2 = 5 : 7$. Тогда существует такое число $k$, что $x_1 = 5k$, $x_2 = \text{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}$. Поскольку $x_1 + x_2 = \text{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}$, то $5k + \text{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_} = \text{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}$. Отсюда \text{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}.

Ответ: ___________________________________________________

Решение.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного квадратного уравнения $x^2 + 24x + c = 0$.

Согласно условию задачи, корни относятся как $5 : 7$. Это означает, что существует некоторый коэффициент пропорциональности $k$, такой что:
$x_1 = 5k$
$x_2 = 7k$

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ по теореме Виета справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

Применительно к нашему уравнению $x^2 + 24x + c = 0$, имеем $p=24$ и $q=c$. Таким образом:
$x_1 + x_2 = -24$
$x_1 \cdot x_2 = c$

Подставим выражения для корней через $k$ в первое уравнение (для суммы корней), чтобы найти значение $k$:
$5k + 7k = -24$
$12k = -24$
$k = \frac{-24}{12} = -2$

Теперь, когда мы нашли $k$, мы можем определить значения корней:
$x_1 = 5k = 5 \cdot (-2) = -10$
$x_2 = 7k = 7 \cdot (-2) = -14$

Наконец, найдем значение $c$, используя второе уравнение из теоремы Виета (для произведения корней):
$c = x_1 \cdot x_2 = (-10) \cdot (-14) = 140$

Ответ: корни уравнения равны -10 и -14; число c равно 140.