Номер 4, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 4, страница 85.

Условие.

4. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны:

1) -6 и 0,2;

Решение.

Пусть $x_1 = -6$, $x_2 = 0,2$. Тогда $x_1 + x_2 = -6 + 0,2 = -5,8$, $x_1 \cdot x_2 = -6 \cdot 0,2 = -1,2$.

По теореме, обратной теореме Виета, числа $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения $x^2 + 5,8x - 1,2 = 0$. Умножив обе части этого уравнения на 5, получим квадратное уравнение с целыми коэффициентами: __________________

2) $\frac{2}{7}$ и $\frac{3}{4}$;

Решение.

3) $6 - \sqrt{3}$ и $6 + \sqrt{3}$.

Решение.

Решение.

1) -6 и 0,2

Чтобы составить квадратное уравнение с заданными корнями $x_1$ и $x_2$, воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета. Согласно ей, искомое уравнение можно записать в виде $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$.
Пусть $x_1 = -6$ и $x_2 = 0,2$.
Найдем сумму и произведение корней:
$x_1 + x_2 = -6 + 0,2 = -5,8$
$x_1 \cdot x_2 = -6 \cdot 0,2 = -1,2$
Подставим эти значения в формулу:
$x^2 - (-5,8)x + (-1,2) = 0$
$x^2 + 5,8x - 1,2 = 0$
По условию, коэффициенты уравнения должны быть целыми. Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 10:
$10(x^2 + 5,8x - 1,2) = 10 \cdot 0$
$10x^2 + 58x - 12 = 0$
Все коэффициенты этого уравнения (10, 58, -12) являются четными, поэтому мы можем упростить его, разделив обе части на 2:
$5x^2 + 29x - 6 = 0$
Ответ: $5x^2 + 29x - 6 = 0$

2) $ \frac{2}{7} $ и $ \frac{3}{4} $

Пусть $x_1 = \frac{2}{7}$ и $x_2 = \frac{3}{4}$.
Найдем сумму и произведение корней:
$x_1 + x_2 = \frac{2}{7} + \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4}{28} + \frac{3 \cdot 7}{28} = \frac{8+21}{28} = \frac{29}{28}$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{7} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{28} = \frac{3}{14}$
Составим уравнение по формуле $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$:
$x^2 - \frac{29}{28}x + \frac{3}{14} = 0$
Чтобы получить целые коэффициенты, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 28 и 14, которое равно 28:
$28(x^2 - \frac{29}{28}x + \frac{3}{14}) = 28 \cdot 0$
$28x^2 - 29x + 2 \cdot 3 = 0$
$28x^2 - 29x + 6 = 0$
Ответ: $28x^2 - 29x + 6 = 0$

3) $6-\sqrt{3}$ и $6+\sqrt{3}$

Пусть $x_1 = 6 - \sqrt{3}$ и $x_2 = 6 + \sqrt{3}$.
Найдем сумму и произведение корней:
$x_1 + x_2 = (6 - \sqrt{3}) + (6 + \sqrt{3}) = 6 - \sqrt{3} + 6 + \sqrt{3} = 12$
$x_1 \cdot x_2 = (6 - \sqrt{3})(6 + \sqrt{3})$
Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, получаем:
$x_1 \cdot x_2 = 6^2 - (\sqrt{3})^2 = 36 - 3 = 33$
Составим уравнение по формуле $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$:
$x^2 - 12x + 33 = 0$
Все коэффициенты уже являются целыми, поэтому это и есть искомое уравнение.
Ответ: $x^2 - 12x + 33 = 0$