Номер 11, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 11, страница 88.

Условие.

11. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 5 меньше соответствующих корней уравнения $x^2 - 10x + 8 = 0$.

Решение.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного уравнения, $x_1'$ и $x_2'$ — корни искомого уравнения. По условию $x_1' = x_1 - 5$, $x_2' = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

$x_1 + x_2 = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$

$x_1' + x_2' = x_1 - 5 + \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$

$x_1'x_2' = (x_1 - 5)(\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_)$

Следовательно, по теореме, обратной теореме Виета, искомым является уравнение

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного уравнения $x^2 - 10x + 8 = 0$. По теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$ и произведение корней $x_1 x_2 = q$.

Для нашего уравнения $p = -10$ и $q = 8$, следовательно:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-10) = 10$

Произведение корней: $x_1 x_2 = 8$

Пусть $x'_1$ и $x'_2$ — корни искомого уравнения. По условию, они на 5 меньше соответствующих корней исходного уравнения:

$x'_1 = x_1 - 5$

$x'_2 = x_2 - 5$

Теперь найдем сумму и произведение новых корней, чтобы составить новое уравнение по теореме, обратной теореме Виета.

Сумма новых корней:

$x'_1 + x'_2 = (x_1 - 5) + (x_2 - 5) = (x_1 + x_2) - 10$

Подставляя известное значение $x_1 + x_2 = 10$, получаем:

$x'_1 + x'_2 = 10 - 10 = 0$

Произведение новых корней:

$x'_1 x'_2 = (x_1 - 5)(x_2 - 5) = x_1x_2 - 5x_1 - 5x_2 + 25 = x_1x_2 - 5(x_1 + x_2) + 25$

Подставляя известные значения $x_1 x_2 = 8$ и $x_1 + x_2 = 10$, получаем:

$x'_1 x'_2 = 8 - 5(10) + 25 = 8 - 50 + 25 = -17$

По теореме, обратной теореме Виета, искомое уравнение имеет вид $x^2 - (x'_1 + x'_2)x + (x'_1 x'_2) = 0$.

Подставив найденные значения суммы ($0$) и произведения ($-17$), получаем уравнение:

$x^2 - (0)x + (-17) = 0$

$x^2 - 17 = 0$

Ответ: $x^2 - 17 = 0$.