Номер 12, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 12, страница 88.

Условие.

12. Составьте квадратное уравнение, корни которого в 4 раза меньше соответствующих корней уравнения $x^2 - 12x + 5 = 0$.

Решение.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного уравнения, $x_1'$ и $x_2'$ — корни искомого уравнения. По условию $x_1' = \frac{x_1}{4}$, $x_2' = $

Ответ:

Решение.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного уравнения $x^2 - 12x + 5 = 0$. Искомое квадратное уравнение имеет корни $x'_1$ и $x'_2$, которые по условию в 4 раза меньше корней исходного уравнения. Это значит:
$x'_1 = \frac{x_1}{4}$ и $x'_2 = \frac{x_2}{4}$.

Для решения задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Использование теоремы Виета
Сначала применим теорему Виета к исходному уравнению $x^2 - 12x + 5 = 0$:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-12) = 12$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 5$.

Теперь найдем сумму и произведение корней нового уравнения ($S'$ и $P'$):
Сумма новых корней: $S' = x'_1 + x'_2 = \frac{x_1}{4} + \frac{x_2}{4} = \frac{x_1 + x_2}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
Произведение новых корней: $P' = x'_1 \cdot x'_2 = \frac{x_1}{4} \cdot \frac{x_2}{4} = \frac{x_1 \cdot x_2}{16} = \frac{5}{16}$.

По теореме, обратной теореме Виета, уравнение с корнями $x'_1$ и $x'_2$ можно записать в виде $y^2 - S'y + P' = 0$. Подставляем найденные значения $S'$ и $P'$:
$y^2 - 3y + \frac{5}{16} = 0$.
Чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами, умножим обе части на 16:
$16(y^2 - 3y + \frac{5}{16}) = 16 \cdot 0$
$16y^2 - 48y + 5 = 0$.

Способ 2: Замена переменной
Пусть $y$ – корень искомого уравнения. По условию $y = \frac{x}{4}$, где $x$ – соответствующий корень исходного уравнения. Отсюда можно выразить $x$: $x = 4y$.
Подставим это выражение для $x$ в исходное уравнение $x^2 - 12x + 5 = 0$:
$(4y)^2 - 12(4y) + 5 = 0$
$16y^2 - 48y + 5 = 0$.
Этот способ быстрее и приводит к тому же результату.

Ответ: $16y^2 - 48y + 5 = 0$.