Номер 13, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 13, страница 79.

Условие.

13. Решите уравнение:

1) $|x^2 + 6x - 2| = 10$;

Решение.

Имеем: $x^2 + 6x - 2 = 10$ или $x^2 + 6x - 2 = -10$;

Ответ:

2) $x|x| + 2x - 35 = 0$;

Решение.

При $x \ge 0$ получаем уравнение $x^2 + 2x - 35 = 0$.

$D = $

$x_1 = $

$x_2 = $

Корень не удовлетворяет условию $x \ge 0$.

При $x < 0$ получаем уравнение $-x^2 + 2x - 35 = 0$.

Ответ:

3) $3x^2 + 13|x| - 10 = 0$;

Решение.

Ответ:

4) $7x^2 - 15\sqrt{x^2} + 2 = 0$.

Решение.

Имеем: $7x^2 - 15|x| + 2 = 0$.

Ответ:

Решение.

1) $|x^2 + 6x - 2| = 10;$
Решение.
Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
$x^2 + 6x - 2 = 10$ или $x^2 + 6x - 2 = -10$.

Решим первое уравнение:
$x^2 + 6x - 2 = 10$
$x^2 + 6x - 12 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 36 + 48 = 84$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{84}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{21}}{2} = -3 \pm \sqrt{21}$.

Решим второе уравнение:
$x^2 + 6x - 2 = -10$
$x^2 + 6x + 8 = 0$
По теореме Виета: $x_3 + x_4 = -6$ и $x_3 \cdot x_4 = 8$.
Корни уравнения: $x_3 = -4$, $x_4 = -2$.

Объединяя найденные корни, получаем решение исходного уравнения.
Ответ: $-4; -2; -3 - \sqrt{21}; -3 + \sqrt{21}$.

2) $x|x| + 2x - 35 = 0;$
Решение.
Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 0$.
При этом условии $|x| = x$, и уравнение принимает вид:
$x \cdot x + 2x - 35 = 0$
$x^2 + 2x - 35 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144 = 12^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-2 + 12}{2} = 5$; $x_2 = \frac{-2 - 12}{2} = -7$.
Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только корень $x_1 = 5$.

Случай 2: $x < 0$.
При этом условии $|x| = -x$, и уравнение принимает вид:
$x \cdot (-x) + 2x - 35 = 0$
$-x^2 + 2x - 35 = 0$
$x^2 - 2x + 35 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 35 = 4 - 140 = -136$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Единственным решением является корень из первого случая.
Ответ: $5$.

3) $3x^2 + 13|x| - 10 = 0;$
Решение.
Поскольку $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать в виде:
$3|x|^2 + 13|x| - 10 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x|$. Так как модуль числа не может быть отрицательным, $t \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$3t^2 + 13t - 10 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289 = 17^2$.
Корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-13 + 17}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
$t_2 = \frac{-13 - 17}{2 \cdot 3} = \frac{-30}{6} = -5$.
Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только $t_1 = \frac{2}{3}$.
Вернемся к исходной переменной:
$|x| = \frac{2}{3}$.
Отсюда $x = \frac{2}{3}$ или $x = -\frac{2}{3}$.
Ответ: $-\frac{2}{3}; \frac{2}{3}$.

4) $7x^2 - 15\sqrt{x^2} + 2 = 0.$
Решение.
Используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, перепишем уравнение:
$7x^2 - 15|x| + 2 = 0$.
Так как $x^2 = |x|^2$, получаем:
$7|x|^2 - 15|x| + 2 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x|$, где $t \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$7t^2 - 15t + 2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 225 - 56 = 169 = 13^2$.
Корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{15 + 13}{2 \cdot 7} = \frac{28}{14} = 2$.
$t_2 = \frac{15 - 13}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$.
Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Вернемся к исходной переменной.
1) $|x| = 2$, откуда $x = 2$ или $x = -2$.
2) $|x| = \frac{1}{7}$, откуда $x = \frac{1}{7}$ или $x = -\frac{1}{7}$.
Ответ: $-2; -\frac{1}{7}; \frac{1}{7}; 2$.