Номер 12, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 12, страница 79.

Условие.

12. Докажите, что если для коэффициентов квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ выполняется равенство $a + c = b$, то корнями этого уравнения являются числа $-1$ и $-\frac{c}{a}$.

Решение.

Решение.

Решение.

Нам дано квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ и условие для его коэффициентов $a + c = b$. Требуется доказать, что корнями этого уравнения являются числа $-1$ и $-\frac{c}{a}$.

Доказательство можно провести несколькими способами.

Способ 1: Прямая подстановка

Чтобы доказать, что число является корнем уравнения, нужно подставить его вместо переменной $x$ и проверить, обратится ли левая часть в ноль.

1. Проверим, является ли $x = -1$ корнем уравнения.
Подставим $-1$ в уравнение:

$a(-1)^2 + b(-1) + c = a \cdot 1 - b + c = a - b + c$

По условию задачи $a + c = b$. Заменим в полученном выражении $a + c$ на $b$:

$(a + c) - b = b - b = 0$

Так как получилось верное равенство $0 = 0$, то $x_1 = -1$ действительно является корнем уравнения.

2. Проверим, является ли $x = -\frac{c}{a}$ корнем уравнения.
Подставим $-\frac{c}{a}$ в уравнение (по определению квадратного уравнения, $a \neq 0$):

$a\left(-\frac{c}{a}\right)^2 + b\left(-\frac{c}{a}\right) + c = a\left(\frac{c^2}{a^2}\right) - \frac{bc}{a} + c = \frac{c^2}{a} - \frac{bc}{a} + \frac{ac}{a}$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{c^2 - bc + ac}{a} = \frac{ac - bc + c^2}{a}$

Вынесем $c$ за скобки в числителе:

$\frac{c(a - b + c)}{a}$

Снова используем условие $a + c = b$, из которого следует, что $a + c - b = 0$. Подставим это в числитель:

$\frac{c \cdot 0}{a} = 0$

Следовательно, $x_2 = -\frac{c}{a}$ также является корнем уравнения.

Способ 2: Использование теоремы Виета

Как мы уже доказали в первом пункте первого способа, $x_1 = -1$ является корнем уравнения.

По теореме Виета, произведение корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равно $\frac{c}{a}$.

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Подставим известный корень $x_1 = -1$ в это равенство:

$(-1) \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Отсюда легко найти второй корень:

$x_2 = -\frac{c}{a}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату и доказывают утверждение.

Ответ: Утверждение доказано. Если для коэффициентов квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ выполняется равенство $a + c = b$, то его корнями являются числа $-1$ и $-\frac{c}{a}$.