Номер 5, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 5, страница 72.

Условие.

5. Сумма квадратов двух последовательных чётных натуральных чисел на 52 больше их произведения. Найдите эти числа.

Решение.

Пусть меньшее из этих чисел равно $x$, тогда второе число равно $x + 2$.

Из условия следует, что значение выражения $(x + 2)^2 + x^2$ на 52 больше значения выражения

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть меньшее из двух последовательных чётных натуральных чисел равно $x$. Поскольку числа являются последовательными чётными, то второе, большее число, равно $x + 2$.

Сумма квадратов этих чисел равна $x^2 + (x + 2)^2$.

Их произведение равно $x(x + 2)$.

По условию задачи, сумма квадратов на 52 больше их произведения. Составим и решим уравнение:

$x^2 + (x + 2)^2 = x(x + 2) + 52$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$x^2 + (x^2 + 4x + 4) = x^2 + 2x + 52$

Приведём подобные слагаемые:

$2x^2 + 4x + 4 = x^2 + 2x + 52$

Перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$(2x^2 - x^2) + (4x - 2x) + (4 - 52) = 0$

$x^2 + 2x - 48 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a = 1, b = 2, c = -48$

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$

$\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$

Найдём корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 14}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 14}{2 \cdot 1} = \frac{-16}{2} = -8$

В условии задачи сказано, что числа натуральные. Натуральные числа — это целые положительные числа. Корень $x_2 = -8$ является отрицательным числом, поэтому он не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, меньшее из искомых чисел равно $x = 6$.

Тогда второе число равно $x + 2 = 6 + 2 = 8$.

Проверка:

Сумма квадратов: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.

Произведение: $6 \cdot 8 = 48$.

Разница: $100 - 48 = 52$.

Условие выполняется.

Ответ: 6 и 8.