Номер 17, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений - номер 17, страница 66.

Условие.

17. Найдите, при каком значении $a$ уравнение $(a+5)x^2 + (a^2 - 25)x + a^2 - 5a = 0$ является:

1) уравнением первой степени;

Решение.

Данное уравнение будет уравнением первой степени, если выполняются одновременно условия: $a+5=$ и $a^2 - 25 \neq$

Ответ:

2) неполным квадратным уравнением.

Решение.

Ответ:

Решение.

Дано уравнение $(a + 5)x^2 + (a^2 - 25)x + a^2 - 5a = 0$.

1) уравнением первой степени

Уравнение является уравнением первой степени (линейным), если коэффициент при старшей степени ($x^2$) равен нулю, а коэффициент при следующей степени ($x$) отличен от нуля. Это можно записать в виде системы условий:

$\begin{cases} a + 5 = 0 \\ a^2 - 25 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$a + 5 = 0$

$a = -5$

Теперь подставим найденное значение $a = -5$ во второе условие (неравенство), чтобы проверить его выполнение:

$a^2 - 25 = (-5)^2 - 25 = 25 - 25 = 0$

Результат равен нулю, что противоречит второму условию системы ($a^2 - 25 \neq 0$). Поскольку не существует значения $a$, которое удовлетворяло бы обоим условиям одновременно, данное уравнение не может быть уравнением первой степени.

Ответ: таких значений $a$ не существует.

2) неполным квадратным уравнением

Уравнение является неполным квадратным, если оно имеет вид $Ax^2+Bx+C=0$, где коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($A \neq 0$), а хотя бы один из остальных коэффициентов ($B$ или $C$) равен нулю.

В данном уравнении:

• $A = a + 5$
• $B = a^2 - 25$
• $C = a^2 - 5a$

Сначала установим условие, при котором уравнение является квадратным:

$A \neq 0 \implies a + 5 \neq 0 \implies a \neq -5$.

Теперь рассмотрим условия, при которых коэффициенты $B$ или $C$ равны нулю.

1. Коэффициент $B$ равен нулю:

$B = a^2 - 25 = 0$

$(a - 5)(a + 5) = 0$

Это равенство верно при $a = 5$ или $a = -5$. Учитывая ранее найденное ограничение $a \neq -5$, получаем единственное решение $a = 5$.

2. Коэффициент $C$ равен нулю:

$C = a^2 - 5a = 0$

$a(a - 5) = 0$

Это равенство верно при $a = 0$ или $a = 5$. Оба этих значения удовлетворяют ограничению $a \neq -5$.

Объединяя все найденные значения $a$, при которых уравнение является неполным квадратным, получаем $a = 0$ и $a = 5$.

Ответ: при $a = 0$ или $a = 5$.