Номер 18, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений - номер 18, страница 67.

Условие.

18. Для каждого значения a решите уравнение:

1) $ax^2 - 4 = 0;$

Решение.

Рассмотрим 3 случая.

Если $a = 0$, то получаем уравнение $0x^2 - 4 = 0$.

Если $a > 0$, то

Если $a < 0$, то

Ответ:

2) $4x^2 - a = 0$.

Решение.

Ответ:

Решение.

1) $ax^2 - 4 = 0$

Решение.

Это уравнение с параметром $a$. Его решение зависит от значения $a$.

Рассмотрим 3 случая.

Если $a = 0$, то получаем уравнение $0 \cdot x^2 - 4 = 0$, которое упрощается до $-4 = 0$. Это неверное числовое равенство, следовательно, при $a = 0$ уравнение не имеет корней.

Если $a > 0$, то уравнение является квадратным. Перенесем $-4$ в правую часть: $ax^2 = 4$. Разделим обе части на $a$ (это возможно, так как $a \neq 0$): $x^2 = \frac{4}{a}$. Поскольку $a > 0$, правая часть уравнения положительна, и уравнение имеет два корня: $x = \pm\sqrt{\frac{4}{a}}$, то есть $x = \pm\frac{2}{\sqrt{a}}$.

Если $a < 0$, то, как и в предыдущем случае, $x^2 = \frac{4}{a}$. Но так как $a < 0$, то значение дроби $\frac{4}{a}$ отрицательно. Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому в этом случае уравнение не имеет корней.

Ответ: если $a \le 0$, корней нет; если $a > 0$, то $x = \pm \frac{2}{\sqrt{a}}$.

2) $4x^2 - a = 0$

Решение.

Это также уравнение с параметром $a$. Выразим $x^2$ из уравнения.

$4x^2 = a$

$x^2 = \frac{a}{4}$

Решение этого уравнения зависит от знака выражения в правой части, то есть от знака параметра $a$. Рассмотрим 3 случая.

Если $a > 0$, то правая часть $\frac{a}{4}$ положительна. Уравнение имеет два действительных корня: $x = \pm\sqrt{\frac{a}{4}}$, то есть $x = \pm\frac{\sqrt{a}}{2}$.

Если $a = 0$, то уравнение принимает вид $x^2 = 0$. Оно имеет один корень: $x = 0$.

Если $a < 0$, то правая часть $\frac{a}{4}$ отрицательна. Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, уравнение не имеет корней.

Ответ: если $a < 0$, корней нет; если $a = 0$, то $x = 0$; если $a > 0$, то $x = \pm \frac{\sqrt{a}}{2}$.