Номер 15, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений - номер 15, страница 64.

Условие.

15. При каком значении m уравнение $(m + 1)x^2 - (m^2 + 2m)x = 0$ имеет единственный корень?

Решение.

Уравнение вида $ax^2 + bx = 0$ может иметь единственный корень, если оно не является квадратным или коэффициент при __________ равен __________

Ответ:

Решение.

Решение.

Рассмотрим уравнение $(m + 1)x^2 - (m^2 + 2m)x = 0$.
Уравнение имеет единственный корень в двух случаях.

1. Уравнение является линейным. Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю.
$m + 1 = 0$
$m = -1$
Подставим это значение $m$ в исходное уравнение, чтобы проверить:
$(-1 + 1)x^2 - ((-1)^2 + 2 \cdot (-1))x = 0$
$0 \cdot x^2 - (1 - 2)x = 0$
$-(-1)x = 0$
$x = 0$
При $m = -1$ уравнение имеет единственный корень $x=0$. Следовательно, $m = -1$ является решением.

2. Уравнение является квадратным, но имеет только один корень. Это происходит, когда $m + 1 \neq 0$.
Вынесем $x$ за скобки:
$x((m + 1)x - (m^2 + 2m)) = 0$
Это уравнение всегда имеет корень $x_1 = 0$. Чтобы этот корень был единственным, второй корень, который находится из уравнения $(m + 1)x - (m^2 + 2m) = 0$, также должен быть равен нулю. Это произойдет, если свободный член в этом линейном относительно $x$ уравнении равен нулю. Для исходного уравнения это эквивалентно тому, что коэффициент при $x$ равен нулю.
$-(m^2 + 2m) = 0$
$m^2 + 2m = 0$
$m(m + 2) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения: $m = 0$ или $m = -2$.
Проверим, удовлетворяют ли эти значения условию $m + 1 \neq 0$:
При $m = 0$, $m+1 = 1 \neq 0$. Подходит.
При $m = -2$, $m+1 = -1 \neq 0$. Подходит.
Следовательно, $m = 0$ и $m = -2$ также являются решениями.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем все значения $m$, при которых уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $-2; -1; 0$.