Номер 8, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений - номер 8, страница 60.

Условие.

8. Преобразуйте данное квадратное уравнение в равносильное ему квадратное уравнение с целыми коэффициентами:

1) $\frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{6}x + \frac{1}{4} = 0$

2) $0,2x^2 + 4x - 0,6 = 0$

3) $0,8x^2 - \frac{1}{7}x + \frac{1}{5} = 0.$

Решение.

1) Имеем: НОК (3; 4; 6) = ________. Следовательно, ________ обе части данного уравнения на число ________, получим искомое уравнение:

2)

3)

Решение.

1) Исходное уравнение: $ \frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{6}x + \frac{1}{4} = 0 $.

Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 3, 6 и 4. Это позволит преобразовать уравнение в равносильное ему уравнение с целыми коэффициентами.

Находим НОК для чисел 3, 6 и 4. Наименьшее число, которое делится без остатка на 3, 6 и 4, это 12. Таким образом, НОК(3, 6, 4) = 12.

Умножим каждый член уравнения на 12:

$ 12 \cdot (\frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{6}x + \frac{1}{4}) = 12 \cdot 0 $

$ (\frac{12}{3})x^2 - (\frac{12}{6})x + (\frac{12}{4}) = 0 $

$ 4x^2 - 2x + 3 = 0 $

Полученное уравнение является равносильным исходному и имеет целые коэффициенты.

Ответ: $ 4x^2 - 2x + 3 = 0 $

2) Исходное уравнение: $ 0,2x^2 + 4x - 0,6 = 0 $.

В этом уравнении есть десятичные дроби. Чтобы преобразовать их в целые числа, нужно умножить обе части уравнения на 10, так как максимальное количество знаков после запятой у коэффициентов равно одному (у 0,2 и 0,6).

Умножим каждый член уравнения на 10:

$ 10 \cdot (0,2x^2 + 4x - 0,6) = 10 \cdot 0 $

$ (10 \cdot 0,2)x^2 + (10 \cdot 4)x - (10 \cdot 0,6) = 0 $

$ 2x^2 + 40x - 6 = 0 $

Все коэффициенты полученного уравнения (2, 40, -6) являются четными числами. Мы можем упростить уравнение, разделив обе его части на их наибольший общий делитель, который равен 2.

$ \frac{2x^2 + 40x - 6}{2} = \frac{0}{2} $

$ x^2 + 20x - 3 = 0 $

Ответ: $ x^2 + 20x - 3 = 0 $

3) Исходное уравнение: $ 0,8x^2 - \frac{1}{7}x + \frac{1}{5} = 0 $.

В этом уравнении присутствуют как десятичная дробь, так и обыкновенные дроби. Для начала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную:

$ 0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} $

Теперь уравнение имеет вид:

$ \frac{4}{5}x^2 - \frac{1}{7}x + \frac{1}{5} = 0 $

Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 5, 7 и 5. Поскольку 5 и 7 — простые числа, их НОК равен их произведению.

НОК(5, 7) = $ 5 \cdot 7 = 35 $.

Умножим каждый член уравнения на 35:

$ 35 \cdot (\frac{4}{5}x^2 - \frac{1}{7}x + \frac{1}{5}) = 35 \cdot 0 $

$ (\frac{35 \cdot 4}{5})x^2 - (\frac{35 \cdot 1}{7})x + (\frac{35 \cdot 1}{5}) = 0 $

$ (7 \cdot 4)x^2 - (5 \cdot 1)x + (7 \cdot 1) = 0 $

$ 28x^2 - 5x + 7 = 0 $

Ответ: $ 28x^2 - 5x + 7 = 0 $