Номер 2, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений - номер 2, страница 58.

Условие.

2. Заполните таблицу.

Коэффициенты уравнения $ax^2 + bx + c = 0$

Неполное квадратное уравнение

Корни

$b = c = 0$

$b \neq 0, c = 0$

$b = 0, -\frac{c}{a} < 0$

$b = 0, -\frac{c}{a} > 0$

Решение.

Задача состоит в том, чтобы для каждого случая, определенного коэффициентами, записать вид неполного квадратного уравнения и найти его корни.

Общий вид квадратного уравнения: $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$.

b = c = 0

1. Неполное квадратное уравнение:

Подставим коэффициенты $b=0$ и $c=0$ в общее уравнение:

$ax^2 + 0 \cdot x + 0 = 0$

В результате получаем уравнение вида: $ax^2 = 0$.

2. Корни:

Решим полученное уравнение. Поскольку $a \neq 0$, мы можем разделить обе части на $a$:

$x^2 = 0$

Это уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня): $x = 0$.

Ответ: Неполное квадратное уравнение: $ax^2 = 0$. Корни: $x = 0$.

b ≠ 0, c = 0

1. Неполное квадратное уравнение:

Подставим коэффициент $c=0$ (при $b \neq 0$) в общее уравнение:

$ax^2 + bx + 0 = 0$

В результате получаем уравнение вида: $ax^2 + bx = 0$.

2. Корни:

Решим полученное уравнение, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$x(ax + b) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два корня:

$x_1 = 0$

$ax + b = 0 \implies ax = -b \implies x_2 = -\frac{b}{a}$

Ответ: Неполное квадратное уравнение: $ax^2 + bx = 0$. Корни: $x_1 = 0, x_2 = -\frac{b}{a}$.

b = 0, $-\frac{c}{a} < 0$

1. Неполное квадратное уравнение:

Подставим коэффициент $b=0$ в общее уравнение:

$ax^2 + 0 \cdot x + c = 0$

В результате получаем уравнение вида: $ax^2 + c = 0$.

2. Корни:

Решим полученное уравнение. Выразим $x^2$:

$ax^2 = -c$

$x^2 = -\frac{c}{a}$

Согласно условию, выражение $-\frac{c}{a}$ является отрицательным числом. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$), поэтому данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: Неполное квадратное уравнение: $ax^2 + c = 0$. Корни: нет действительных корней.

b = 0, $-\frac{c}{a} > 0$

1. Неполное квадратное уравнение:

Аналогично предыдущему случаю, при $b=0$ уравнение принимает вид: $ax^2 + c = 0$.

2. Корни:

Выразим $x^2$:

$x^2 = -\frac{c}{a}$

Согласно условию, выражение $-\frac{c}{a}$ является положительным числом. В этом случае уравнение имеет два различных действительных корня, которые являются противоположными числами:

$x_{1,2} = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$

Ответ: Неполное квадратное уравнение: $ax^2 + c = 0$. Корни: $x_{1,2} = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$.