Номер 24, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция y = √x и её график - номер 24, страница 57.

Условие.

24. Сравните числа:

1) $\sqrt{33} + \sqrt{39}$ и 12;

2) $\sqrt{65} + \sqrt{63}$ и 16.

Решение.

1) Для сравнения чисел $\sqrt{33} + \sqrt{39}$ и $12$, возведем оба выражения в квадрат, так как оба они положительны. Знак неравенства при этом не изменится.

Квадрат первого выражения:
$(\sqrt{33} + \sqrt{39})^2 = (\sqrt{33})^2 + 2 \cdot \sqrt{33} \cdot \sqrt{39} + (\sqrt{39})^2 = 33 + 2\sqrt{33 \cdot 39} + 39 = 72 + 2\sqrt{1287}$.

Квадрат второго числа:
$12^2 = 144$.

Теперь необходимо сравнить $72 + 2\sqrt{1287}$ и $144$.
Вычтем 72 из обеих частей сравнения:
$2\sqrt{1287}$ и $144 - 72$
$2\sqrt{1287}$ и $72$.

Разделим обе части на 2:
$\sqrt{1287}$ и $36$.

Чтобы сравнить эти числа, снова возведем их в квадрат:
$(\sqrt{1287})^2$ и $36^2$
$1287$ и $1296$.

Так как $1287 < 1296$, то, возвращаясь по цепочке преобразований, мы можем утверждать, что $\sqrt{1287} < 36$, $2\sqrt{1287} < 72$, $72 + 2\sqrt{1287} < 144$, и, следовательно, $(\sqrt{33} + \sqrt{39})^2 < 12^2$.

Поскольку исходные выражения были положительны, из этого следует, что $\sqrt{33} + \sqrt{39} < 12$.

Ответ: $\sqrt{33} + \sqrt{39} < 12$.

2) Для сравнения чисел $\sqrt{65} + \sqrt{63}$ и $16$, также возведем оба выражения в квадрат, так как они положительны.

Квадрат первого выражения:
$(\sqrt{65} + \sqrt{63})^2 = (\sqrt{65})^2 + 2 \cdot \sqrt{65} \cdot \sqrt{63} + (\sqrt{63})^2 = 65 + 2\sqrt{65 \cdot 63} + 63 = 128 + 2\sqrt{4095}$.

Квадрат второго числа:
$16^2 = 256$.

Теперь сравним $128 + 2\sqrt{4095}$ и $256$.
Вычтем 128 из обеих частей:
$2\sqrt{4095}$ и $256 - 128$
$2\sqrt{4095}$ и $128$.

Разделим обе части на 2:
$\sqrt{4095}$ и $64$.

Снова возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{4095})^2$ и $64^2$
$4095$ и $4096$.

Так как $4095 < 4096$, то, аналогично первому пункту, $\sqrt{4095} < 64$, и, следовательно, $(\sqrt{65} + \sqrt{63})^2 < 16^2$.

Поскольку исходные выражения положительны, из этого следует, что $\sqrt{65} + \sqrt{63} < 16$.

Ответ: $\sqrt{65} + \sqrt{63} < 16$.