Номер 17, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция y = √x и её график - номер 17, страница 52.

Условие.

17. При каких значениях x выполняется неравенство:

1) $\sqrt{x} < 40;$

2) $\sqrt{x} > 11;$

3) $\sqrt{x} \leq 0,3;$

4) $2 < \sqrt{x} \leq 3,1?$

Решение.

1) Запишем данное неравенство так: $\sqrt{x} < \sqrt{\_\_\_\_\_\_}$. Тогда можно сделать вывод, что $x < \_\_\_\_\_\_$. Учитывая, что выражение $\sqrt{x}$ имеет смысл только при $x \geq \_\_\_\_\_\_$, получаем, что данное неравенство выполняется при всех $x$, удовлетворяющих неравенству $\_\_\_\_\_\_ \leq x < \_\_\_\_\_\_$.

Ответ: при __________

2) __________

Ответ: при __________

3) __________

Ответ: при __________

Решение.

1) Для решения неравенства $\sqrt{x} < 40$ необходимо учесть два условия.
Во-первых, область допустимых значений (ОДЗ) для выражения $\sqrt{x}$ — это все неотрицательные числа, то есть $x \ge 0$.
Во-вторых, поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:
$(\sqrt{x})^2 < 40^2$
$x < 1600$
Объединяя оба условия ($x \ge 0$ и $x < 1600$), получаем итоговый интервал.
Ответ: при $0 \le x < 1600$.

2) Для решения неравенства $\sqrt{x} > 11$ сначала определим ОДЗ: $x \ge 0$.
Обе части неравенства являются положительными, поэтому можно возвести их в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 > 11^2$
$x > 121$
Решение $x > 121$ полностью удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$), поэтому оно является окончательным.
Ответ: при $x > 121$.

3) Для решения неравенства $\sqrt{x} \le 0,3$ учтем ОДЗ: $x \ge 0$.
Обе части неравенства неотрицательны, поэтому возводим их в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 \le (0,3)^2$
$x \le 0,09$
Совмещая полученное условие с ОДЗ ($x \ge 0$), находим решение.
Ответ: при $0 \le x \le 0,09$.

4) Для решения двойного неравенства $2 < \sqrt{x} \le 3,1$ сначала определим ОДЗ: $x \ge 0$.
Все части неравенства ($2$, $\sqrt{x}$ и $3,1$) являются положительными. Мы можем возвести все три части в квадрат, сохраняя знаки неравенств:
$2^2 < (\sqrt{x})^2 \le (3,1)^2$
$4 < x \le 9,61$
Полученный интервал удовлетворяет ОДЗ, так как все значения $x$ в нем больше 4, а значит, и больше 0.
Ответ: при $4 < x \le 9,61$.