Номер 19, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция y = √x и её график - номер 19, страница 54.

Условие.

19. На рисунке изображён график функции $y = \sqrt{x}$. Определите графически количество корней уравнения:

1) $\sqrt{x} = 0,6x - 0,4$; 2) $\sqrt{x} = 5 - 3x$.

Решение.



Ответ:

Решение.

Чтобы графически определить количество корней уравнения, нужно представить его в виде равенства двух функций $f(x) = g(x)$. Количество корней будет равно количеству точек пересечения графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$. В обоих случаях левая часть уравнения представлена функцией $y=\sqrt{x}$, график которой уже изображён на рисунке.

1) $\sqrt{x} = 0,6x - 0,4$

Рассмотрим две функции: $y = \sqrt{x}$ и $y = 0,6x - 0,4$. График первой функции дан. График второй функции — это прямая. Построим её по двум точкам.
Найдём координаты двух точек для прямой $y = 0,6x - 0,4$:
- при $x = 1$, $y = 0,6 \cdot 1 - 0,4 = 0,2$. Точка (1; 0,2).
- при $x = 4$, $y = 0,6 \cdot 4 - 0,4 = 2,4 - 0,4 = 2$. Точка (4; 2).
Построим эту прямую на той же координатной плоскости. Мы видим, что прямая $y = 0,6x - 0,4$ и график $y = \sqrt{x}$ пересекаются. Точка (4; 2) является общей для обоих графиков, так как $\sqrt{4} = 2$.
При $0 \le x < 4$ (например, при $x=1$) график прямой ($y=0,2$) находится ниже графика корня ($y=1$). При $x > 4$ (например, при $x=9$) график прямой ($y=0,6 \cdot 9 - 0,4 = 5$) находится выше графика корня ($y=\sqrt{9}=3$).
Это означает, что графики пересекаются только в одной точке. Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: 1 корень.

2) $\sqrt{x} = 5 - 3x$

Рассмотрим две функции: $y = \sqrt{x}$ и $y = 5 - 3x$. График первой функции дан. График второй функции — это прямая. Построим её по двум точкам.
Найдём координаты двух точек для прямой $y = 5 - 3x$:
- при $x = 1$, $y = 5 - 3 \cdot 1 = 2$. Точка (1; 2).
- при $x = 2$, $y = 5 - 3 \cdot 2 = -1$. Точка (2; -1).
Построим эту прямую на той же координатной плоскости. Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей (при $x \ge 0$), а функция $y = 5 - 3x$ — убывающей. Возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более чем в одной точке.
Сравним значения функций в некоторых точках:
- при $x=1$: $\sqrt{1}=1$, а $5-3 \cdot 1=2$. График прямой выше графика корня.
- при $x=2$: $\sqrt{2}\approx 1,41$, а $5-3 \cdot 2=-1$. График прямой ниже графика корня.
Поскольку в точке $x=1$ прямая находится выше графика $y=\sqrt{x}$, а в точке $x=2$ — ниже, то между $x=1$ и $x=2$ должно быть пересечение. Так как функции имеют разную монотонность, точка пересечения будет единственной. Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: 1 корень.