Номер 22, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция y = √x и её график - номер 22, страница 55.

Условие.

22. Дана функция $f(x) = \begin{cases} -x, & \text{если } x \le 0 \\ \sqrt{x}, & \text{если } 0 < x < 4 \\ \frac{8}{x}, & \text{если } x \ge 4 \end{cases}$

1) Заполните таблицу.

x	-5	0	1	4	5
f(x)

2) Постройте график данной функции и определите, при каких значениях $a$ прямая $y = a$ имеет с графиком три общие точки.

Решение.

Ответ:

Решение.

1) Заполните таблицу.

Для заполнения таблицы вычислим значения функции $f(x)$ для каждого заданного значения $x$, используя соответствующую часть определения функции:
$f(x) = \begin{cases} -x, & \text{если } x \le 0 \\ \sqrt{x}, & \text{если } 0 < x < 4 \\ \frac{8}{x}, & \text{если } x \ge 4 \end{cases}$
При $x = -5$, так как $-5 \le 0$, используем $f(x) = -x$. Получаем $f(-5) = -(-5) = 5$.
При $x = 0$, так как $0 \le 0$, используем $f(x) = -x$. Получаем $f(0) = -0 = 0$.
При $x = 1$, так как $0 < 1 < 4$, используем $f(x) = \sqrt{x}$. Получаем $f(1) = \sqrt{1} = 1$.
При $x = 4$, так как $4 \ge 4$, используем $f(x) = \frac{8}{x}$. Получаем $f(4) = \frac{8}{4} = 2$.
При $x = 5$, так как $5 \ge 4$, используем $f(x) = \frac{8}{x}$. Получаем $f(5) = \frac{8}{5} = 1.6$.

Заполненная таблица:

$x$	-5	0	1	4	5
$f(x)$	5	0	1	2	1.6

Ответ:

$x$	-5	0	1	4	5
$f(x)$	5	0	1	2	1.6

2) Постройте график данной функции и определите, при каких значениях а прямая y = a имеет с графиком три общие точки.

График функции $f(x)$ состоит из трёх частей:
1. На промежутке $(-\infty, 0]$ график представляет собой луч $y = -x$, выходящий из точки $(0, 0)$.
2. На интервале $(0, 4)$ график является частью параболы $y = \sqrt{x}$. Значения функции на этом участке находятся в интервале $(0, 2)$.
3. На промежутке $[4, +\infty)$ график является частью гиперболы $y = \frac{8}{x}$. Он начинается в точке $(4, 2)$ и убывает, приближаясь к оси абсцисс.

Прямая $y = a$ — это горизонтальная линия. Чтобы она имела с графиком функции три общие точки, она должна пересечь каждую из трех его частей.
- Пересечение с лучом $y = -x$ (для $x \le 0$) возможно при любом $a \ge 0$.
- Пересечение с кривой $y = \sqrt{x}$ (для $0 < x < 4$) возможно, если $a$ принадлежит области значений этой части, то есть $a \in (0, 2)$.
- Пересечение с гиперболой $y = \frac{8}{x}$ (для $x \ge 4$) возможно, если $a$ принадлежит области значений этой части, то есть $a \in (0, 2]$.
Чтобы было ровно три точки пересечения, необходимо, чтобы значение $a$ одновременно удовлетворяло всем условиям. Это соответствует пересечению интервалов $[0, +\infty)$, $(0, 2)$ и $(0, 2]$.
Пересечением этих множеств является интервал $(0, 2)$.
Если $a=2$, то прямая $y=2$ будет иметь две общие точки: $(-2, 2)$ и $(4, 2)$.
Если $a=0$, то прямая $y=0$ будет иметь одну общую точку: $(0, 0)$.
Следовательно, три общие точки существуют только при $0 < a < 2$.

Ответ: $a \in (0, 2)$.