Номер 21, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция y = √x и её график - номер 21, страница 55.

Условие.

21. Дана функция $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, \text{ если } 0 \le x < 1, \\ 2x - 1, \text{ если } x \ge 1. \end{cases}$

1) Заполните таблицу.

$x$	0,09	1	6
$f(x)$				0,5	13

2) Постройте график данной функции.

Решение.

Решение.

1) Заполните таблицу.

Для заполнения таблицы необходимо вычислить значения $f(x)$ для заданных $x$ и найти значения $x$ для заданных $f(x)$, используя определение кусочно-заданной функции: $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } 0 \le x < 1 \\ 2x - 1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$.

Находим значения $f(x)$ для данных $x$:

• При $x = 0,09$, так как $0 \le 0,09 < 1$, используем формулу $f(x) = \sqrt{x}$:
  $f(0,09) = \sqrt{0,09} = 0,3$.
• При $x = 1$, так как $x \ge 1$, используем формулу $f(x) = 2x - 1$:
  $f(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$.
• При $x = 6$, так как $x \ge 1$, используем формулу $f(x) = 2x - 1$:
  $f(6) = 2 \cdot 6 - 1 = 12 - 1 = 11$.

Находим значения $x$ для данных $f(x)$:

• При $f(x) = 0,5$. Рассмотрим два случая:
  1) $f(x) = \sqrt{x} = 0,5$. Возводим обе части в квадрат: $x = (0,5)^2 = 0,25$. Данное значение удовлетворяет условию $0 \le 0,25 < 1$.
  2) $f(x) = 2x - 1 = 0,5$. Решаем уравнение: $2x = 1,5$, откуда $x = 0,75$. Данное значение не удовлетворяет условию $x \ge 1$.
  Следовательно, подходит только $x = 0,25$.
• При $f(x) = 13$. Рассмотрим два случая:
  1) $f(x) = \sqrt{x} = 13$. Возводим обе части в квадрат: $x = 13^2 = 169$. Данное значение не удовлетворяет условию $0 \le x < 1$.
  2) $f(x) = 2x - 1 = 13$. Решаем уравнение: $2x = 14$, откуда $x = 7$. Данное значение удовлетворяет условию $x \ge 1$.
  Следовательно, подходит только $x = 7$.

Ответ:

$x$	0,09	1	6	0,25	7
$f(x)$	0,3	1	11	0,5	13

2) Постройте график данной функции.

График данной функции состоит из двух частей, которые строятся на разных промежутках.

1. График функции $y = \sqrt{x}$ на промежутке $[0, 1)$.
Это часть параболы, ветвь которой направлена вправо. Построим ее по точкам:

• Если $x=0$, то $y=\sqrt{0}=0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику.
• Если $x=0,25$, то $y=\sqrt{0,25}=0,5$. Точка $(0,25; 0,5)$.
• Если $x=1$, то $y=\sqrt{1}=1$. Точка $(1, 1)$ является граничной, но не принадлежит этому участку графика (т.к. $x < 1$), поэтому ее отмечают "выколотой" точкой.

Соединяем точки $(0,0)$, $(0,25; 0,5)$ и $(1,1)$ плавной кривой.

2. График функции $y = 2x - 1$ на промежутке $[1, +\infty)$.
Это луч. Для его построения достаточно двух точек:

• Если $x=1$, то $y=2 \cdot 1 - 1 = 1$. Точка $(1, 1)$ принадлежит графику (т.к. $x \ge 1$). Эта точка "закрашивает" выколотую точку от первой части графика.
• Если $x=2$, то $y=2 \cdot 2 - 1 = 3$. Точка $(2, 3)$.

Проводим луч, который начинается в точке $(1, 1)$ и проходит через точку $(2, 3)$.

Так как первая часть графика заканчивается в точке $(1,1)$, а вторая в ней же начинается, график функции является непрерывным.

Ответ: График функции построен. Он состоит из участка параболы $y = \sqrt{x}$ на промежутке $[0, 1)$ и луча $y = 2x - 1$, начинающегося в точке $(1,1)$.