Номер 20, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция y = √x и её график - номер 20, страница 54.

Условие.

20. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(8-\sqrt{70})^2} + \sqrt{(\sqrt{70}-9)^2}$;

2) $\sqrt{(5-\sqrt{32})^2} - \sqrt{(\sqrt{18}-5)^2}$.

Решение.

1) Поскольку $\sqrt{64} < \sqrt{70}$, то $8 < \sqrt{70}$; $8 - \sqrt{70} < 0$.

Поскольку $\sqrt{70} < \sqrt{81}$, то __________

Имеем: $\sqrt{(8-\sqrt{70})^2} + \sqrt{(\sqrt{70}-9)^2} = |8-\sqrt{70}| + |\sqrt{70}-9| =$

= __________

Ответ:

__________

2) __________

__________

Ответ:

__________

Решение.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{(8 - \sqrt{70})^2} + \sqrt{(\sqrt{70} - 9)^2}$ воспользуемся свойством арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$.

Получаем: $\sqrt{(8 - \sqrt{70})^2} + \sqrt{(\sqrt{70} - 9)^2} = |8 - \sqrt{70}| + |\sqrt{70} - 9|$.

Чтобы раскрыть модули, необходимо определить знаки выражений, стоящих под знаком модуля.

Сравним $8$ и $\sqrt{70}$. Так как $8 = \sqrt{64}$ и $64 < 70$, то $8 < \sqrt{70}$. Следовательно, разность $8 - \sqrt{70}$ отрицательна. Значит, $|8 - \sqrt{70}| = -(8 - \sqrt{70}) = \sqrt{70} - 8$.

Сравним $\sqrt{70}$ и $9$. Так как $9 = \sqrt{81}$ и $70 < 81$, то $\sqrt{70} < 9$. Следовательно, разность $\sqrt{70} - 9$ отрицательна. Значит, $|\sqrt{70} - 9| = -(\sqrt{70} - 9) = 9 - \sqrt{70}$.

Подставим полученные выражения в исходное равенство:

$(\sqrt{70} - 8) + (9 - \sqrt{70}) = \sqrt{70} - 8 + 9 - \sqrt{70} = 1$.

Ответ: $1$

2) Для упрощения выражения $\sqrt{(5 - \sqrt{32})^2} - \sqrt{(\sqrt{18} - 5)^2}$ также воспользуемся свойством $\sqrt{a^2} = |a|$.

Получаем: $\sqrt{(5 - \sqrt{32})^2} - \sqrt{(\sqrt{18} - 5)^2} = |5 - \sqrt{32}| - |\sqrt{18} - 5|$.

Определим знаки подмодульных выражений.

Сравним $5$ и $\sqrt{32}$. Так как $5 = \sqrt{25}$ и $25 < 32$, то $5 < \sqrt{32}$. Следовательно, разность $5 - \sqrt{32}$ отрицательна. Значит, $|5 - \sqrt{32}| = -(5 - \sqrt{32}) = \sqrt{32} - 5$.

Сравним $\sqrt{18}$ и $5$. Так как $5 = \sqrt{25}$ и $18 < 25$, то $\sqrt{18} < 5$. Следовательно, разность $\sqrt{18} - 5$ отрицательна. Значит, $|\sqrt{18} - 5| = -(\sqrt{18} - 5) = 5 - \sqrt{18}$.

Подставим полученные выражения в равенство:

$(\sqrt{32} - 5) - (5 - \sqrt{18}) = \sqrt{32} - 5 - 5 + \sqrt{18} = \sqrt{32} + \sqrt{18} - 10$.

Упростим корни: $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ и $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$.

Подставим упрощенные значения:

$4\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 10 = 7\sqrt{2} - 10$.

Ответ: $7\sqrt{2} - 10$