Номер 23, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция y = √x и её график - номер 23, страница 56.

Условие.

23. Сравните числа:

1) $3+\sqrt{5}$ и $\sqrt{8}+\sqrt{6}$;

2) $2+\sqrt{11}$ и $\sqrt{5}+\sqrt{10}$.

Решение.

1) Найдём квадраты данных чисел:

$(3+\sqrt{5})^2 = 9+6\sqrt{5}+5 = 14+6\sqrt{5}$,

$(\sqrt{8}+\sqrt{6})^2 = 8+2\sqrt{48}+6 = 14+2\sqrt{48}$.

Сравним числа $6\sqrt{5}$ и $2\sqrt{48}$.

Имеем: $6\sqrt{5} = \sqrt{36 \cdot 5} = \sqrt{180}$, $2\sqrt{48} = \sqrt{4 \cdot 48} = \sqrt{192}$.

Следовательно, $6\sqrt{5} < 2\sqrt{48}$.

Таким образом, $(3+\sqrt{5})^2 < (\sqrt{8}+\sqrt{6})^2$. Тогда $3+\sqrt{5} < \sqrt{8}+\sqrt{6}$.

2) ________________________

Решение.

1) Сравним числа $3 + \sqrt{5}$ и $\sqrt{8} + \sqrt{6}$.

Поскольку оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты. Если $a > 0$ и $b > 0$, то из $a^2 > b^2$ следует, что $a > b$.

Найдём квадраты данных чисел:

$(3 + \sqrt{5})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 9 + 6\sqrt{5} + 5 = 14 + 6\sqrt{5}$

$(\sqrt{8} + \sqrt{6})^2 = (\sqrt{8})^2 + 2 \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 8 + 2\sqrt{48} + 6 = 14 + 2\sqrt{48}$

Теперь нужно сравнить выражения $14 + 6\sqrt{5}$ и $14 + 2\sqrt{48}$. Для этого достаточно сравнить слагаемые $6\sqrt{5}$ и $2\sqrt{48}$.

Внесём множители под знак корня:

$6\sqrt{5} = \sqrt{6^2 \cdot 5} = \sqrt{36 \cdot 5} = \sqrt{180}$

$2\sqrt{48} = \sqrt{2^2 \cdot 48} = \sqrt{4 \cdot 48} = \sqrt{192}$

Сравниваем подкоренные выражения: $180 < 192$.

Следовательно, $\sqrt{180} < \sqrt{192}$, а значит $6\sqrt{5} < 2\sqrt{48}$.

Таким образом, $14 + 6\sqrt{5} < 14 + 2\sqrt{48}$, что означает $(3 + \sqrt{5})^2 < (\sqrt{8} + \sqrt{6})^2$.

Так как сравниваемые числа положительны, из неравенства для их квадратов следует такое же неравенство и для самих чисел: $3 + \sqrt{5} < \sqrt{8} + \sqrt{6}$.

Ответ: $3 + \sqrt{5} < \sqrt{8} + \sqrt{6}$.

2) Сравним числа $2 + \sqrt{11}$ и $\sqrt{5} + \sqrt{10}$.

Оба числа являются положительными, поэтому сравним их квадраты.

Найдём квадраты данных чисел:

$(2 + \sqrt{11})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{11} + (\sqrt{11})^2 = 4 + 4\sqrt{11} + 11 = 15 + 4\sqrt{11}$

$(\sqrt{5} + \sqrt{10})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} + (\sqrt{10})^2 = 5 + 2\sqrt{50} + 10 = 15 + 2\sqrt{50}$

Чтобы сравнить $15 + 4\sqrt{11}$ и $15 + 2\sqrt{50}$, сравним $4\sqrt{11}$ и $2\sqrt{50}$.

Внесём множители под знак корня:

$4\sqrt{11} = \sqrt{4^2 \cdot 11} = \sqrt{16 \cdot 11} = \sqrt{176}$

$2\sqrt{50} = \sqrt{2^2 \cdot 50} = \sqrt{4 \cdot 50} = \sqrt{200}$

Сравниваем подкоренные выражения: $176 < 200$.

Следовательно, $\sqrt{176} < \sqrt{200}$, а значит $4\sqrt{11} < 2\sqrt{50}$.

Таким образом, $15 + 4\sqrt{11} < 15 + 2\sqrt{50}$, то есть $(2 + \sqrt{11})^2 < (\sqrt{5} + \sqrt{10})^2$.

Поскольку исходные числа положительны, из этого следует, что $2 + \sqrt{11} < \sqrt{5} + \sqrt{10}$.

Ответ: $2 + \sqrt{11} < \sqrt{5} + \sqrt{10}$.