Номер 9, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений - номер 9, страница 61.

Условие.

9. Составьте неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$, коэффициенты которого удовлетворяют данным условиям, и найдите его корни.

Условия

Уравнение

Корни уравнения

$a > 0, c > 0$

$a > 0, c < 0$

$a < 0, c > 0$

$a < 0, c < 0$

Решение.

Для решения неполного квадратного уравнения вида $ax^2 + c = 0$ необходимо выразить $x^2$:

$ax^2 = -c$

$x^2 = -\frac{c}{a}$

Уравнение имеет действительные корни только в том случае, если выражение в правой части неотрицательно, то есть $-\frac{c}{a} \ge 0$, что эквивалентно $\frac{c}{a} \le 0$. Это условие выполняется, когда коэффициенты $a$ и $c$ имеют разные знаки (один положительный, а другой отрицательный). Если же знаки коэффициентов $a$ и $c$ одинаковы, то $\frac{c}{a} > 0$, и, следовательно, $-\frac{c}{a} < 0$, а значит, уравнение не имеет действительных корней.

Рассмотрим каждый случай.

a > 0, c > 0

В этом случае коэффициенты $a$ и $c$ имеют одинаковые знаки (оба положительные). Следовательно, уравнение не будет иметь действительных корней.

Составим пример уравнения. Пусть $a = 2$ и $c = 18$.

Уравнение: $2x^2 + 18 = 0$.

Решение:

$2x^2 = -18$

$x^2 = -9$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: уравнение $2x^2 + 18 = 0$, действительных корней нет.

a > 0, c < 0

В этом случае коэффициенты $a$ и $c$ имеют разные знаки. Следовательно, уравнение будет иметь два действительных корня.

Составим пример уравнения. Пусть $a = 3$ и $c = -12$.

Уравнение: $3x^2 - 12 = 0$.

Решение:

$3x^2 = 12$

$x^2 = \frac{12}{3}$

$x^2 = 4$

$x = \pm\sqrt{4}$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

Ответ: уравнение $3x^2 - 12 = 0$, корни $x_1 = 2, x_2 = -2$.

a < 0, c > 0

В этом случае коэффициенты $a$ и $c$ также имеют разные знаки. Следовательно, уравнение будет иметь два действительных корня.

Составим пример уравнения. Пусть $a = -4$ и $c = 100$.

Уравнение: $-4x^2 + 100 = 0$.

Решение:

$-4x^2 = -100$

$x^2 = \frac{-100}{-4}$

$x^2 = 25$

$x = \pm\sqrt{25}$

$x_1 = 5$, $x_2 = -5$

Ответ: уравнение $-4x^2 + 100 = 0$, корни $x_1 = 5, x_2 = -5$.

a < 0, c < 0

В этом случае коэффициенты $a$ и $c$ имеют одинаковые знаки (оба отрицательные). Следовательно, уравнение не будет иметь действительных корней.

Составим пример уравнения. Пусть $a = -5$ и $c = -20$.

Уравнение: $-5x^2 - 20 = 0$.

Решение:

$-5x^2 = 20$

$x^2 = \frac{20}{-5}$

$x^2 = -4$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: уравнение $-5x^2 - 20 = 0$, действительных корней нет.