Номер 16, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений - номер 16, страница 64.

Условие.

16. Решите уравнение:

1) $x^2 + 16|x| = 0$;

Решение.

При $x \ge 0$ имеем: $x^2 + 16x = 0$.

Отсюда $x(x + 16) = 0$; $x = 0$ или

$x = -16$.

Корень $x = -16$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$.

При $x < 0$ имеем:

Ответ:

2) $x^2 + 3|x| - 4 = 0$;

Решение.

Ответ:

3) $x^2 - \frac{7x^2}{|x|} = 0$;

Решение.

При $x > 0$ имеем: $x^2 - \frac{7x^2}{x} = 0$.

Ответ:

4) $x^2 + \frac{16|x|}{x} = 0$.

Решение.

Ответ:

Решение.

1) $x^2 + 16|x| = 0$

Решим это уравнение, рассмотрев два случая, в зависимости от знака $x$.

Случай 1: $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$x^2 + 16x = 0$

$x(x + 16) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -16$. Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только корень $x_1 = 0$.

Случай 2: $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$x^2 + 16(-x) = 0$

$x^2 - 16x = 0$

$x(x - 16) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_3 = 0$ и $x_4 = 16$. Ни один из этих корней не удовлетворяет условию $x < 0$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем единственный корень.

Ответ: $0$.

2) $x^2 + 3|x| - 4 = 0$

Решим уравнение, рассмотрев два случая раскрытия модуля.

Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$, и уравнение становится:

$x^2 + 3x - 4 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$. Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только $x = 1$.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$, и уравнение становится:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_3 = 4$ и $x_4 = -1$. Условию $x < 0$ удовлетворяет только $x = -1$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.

Ответ: $-1; 1$.

3) $x^2 - \frac{7x^2}{|x|} = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \neq 0$, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Случай 1: $x > 0$. Тогда $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$x^2 - \frac{7x^2}{x} = 0$

$x^2 - 7x = 0$

$x(x - 7) = 0$

Получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$. Учитывая ОДЗ и условие $x > 0$, подходит только корень $x_2 = 7$.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$x^2 - \frac{7x^2}{-x} = 0$

$x^2 + 7x = 0$

$x(x + 7) = 0$

Получаем корни $x_3 = 0$ и $x_4 = -7$. Учитывая ОДЗ и условие $x < 0$, подходит только корень $x_4 = -7$.

Таким образом, у уравнения два корня.

Ответ: $-7; 7$.

4) $x^2 + \frac{16|x|}{x} = 0$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Случай 1: $x > 0$. Тогда $|x| = x$. Уравнение становится:

$x^2 + \frac{16x}{x} = 0$

$x^2 + 16 = 0$

$x^2 = -16$

Это уравнение не имеет действительных корней.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$. Уравнение становится:

$x^2 + \frac{16(-x)}{x} = 0$

$x^2 - 16 = 0$

$x^2 = 16$

Получаем корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$. Условию $x < 0$ удовлетворяет только корень $x_2 = -4$.

Следовательно, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $-4$.