Номер 11, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 11, страница 78.

Условие.

11. Докажите, что если для коэффициентов квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ выполняется равенство $a + b + c = 0$, то корнями этого уравнения являются числа 1 и $\frac{c}{a}$.

Решение.

Подставим в квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ вместо переменной $x$ число 1. Имеем: $a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = a + b + c$. По условию $a + b + c = 0$.

Следовательно, число 1 является корнем данного уравнения.

Подставим в квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ вместо переменной $x$ число $\frac{c}{a}$. Имеем:

$a \cdot \frac{c^2}{a^2} + b \cdot \frac{c}{a} + c = \frac{c^2}{a} + \frac{bc}{a} + c = \frac{c^2 + bc + ac}{a}$

Решение.

Чтобы доказать, что числа 1 и $\frac{c}{a}$ являются корнями квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, необходимо подставить эти значения вместо переменной $x$ в уравнение и, используя заданное по условию равенство $a + b + c = 0$, проверить, обращается ли левая часть уравнения в ноль.

Проверка для $x=1$

Подставим в квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ вместо переменной $x$ число 1. Получим:

$a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = a + b + c$

Согласно условию задачи, $a + b + c = 0$. Таким образом, при подстановке $x=1$ левая часть уравнения равна нулю, и мы получаем верное равенство $0=0$. Это доказывает, что число 1 является корнем данного уравнения.

Проверка для $x=\frac{c}{a}$

Теперь подставим в уравнение вместо переменной $x$ число $\frac{c}{a}$. Это действие является корректным, поскольку для квадратного уравнения старший коэффициент $a \neq 0$. Получим:

$a \cdot (\frac{c}{a})^2 + b \cdot (\frac{c}{a}) + c = a \cdot \frac{c^2}{a^2} + \frac{bc}{a} + c = \frac{c^2}{a} + \frac{bc}{a} + c$

Приведем полученное выражение к общему знаменателю $a$:

$\frac{c^2}{a} + \frac{bc}{a} + \frac{ac}{a} = \frac{c^2 + bc + ac}{a}$

В числителе дроби вынесем общий множитель $c$ за скобки:

$\frac{c(c + b + a)}{a}$

Снова используем условие $a + b + c = 0$ и подставляем 0 вместо выражения в скобках:

$\frac{c \cdot 0}{a} = \frac{0}{a} = 0$

Таким образом, при подстановке $x=\frac{c}{a}$ левая часть уравнения также обращается в ноль, и мы получаем верное равенство $0=0$. Это доказывает, что число $\frac{c}{a}$ также является корнем уравнения.

Ответ: Утверждение доказано. Если для коэффициентов квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ выполняется равенство $a+b+c=0$, то его корнями являются числа $x_1=1$ и $x_2=\frac{c}{a}$.