Номер 8, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трёхчлен - номер 8, страница 95.

Условие.

8. Упростите выражение:

1) $\frac{4a^2 - 25}{3a^2 - 10a + 3} \cdot \frac{a - 3}{2a + 5} + \frac{1 - 16a}{1 - 3a} =$

$= \frac{(2a - 5)\left( \quad \right)}{3\left( \quad \right)\left( \quad \right)} \cdot \frac{a - 3}{2a + 5} + \frac{1 - 16a}{1 - 3a} =$

$3a^2 - 10a + 3 = 0;$

$D_1 = 25 - 9 = 16;$

$a_1 = \frac{5 + 4}{3} = 3, a_2 = \frac{5 - 4}{3} = \frac{1}{3}.$

2) $\left( \frac{c}{c + 6} + \frac{1}{c - 2} - \frac{8}{c^2 + 4c - 12} \right) : \frac{c^2 + 6c + 5}{c + 6} =$

Решение.

1)

Исходное выражение:

$ \frac{4a^2 - 25}{3a^2 - 10a + 3} \cdot \frac{a - 3}{2a + 5} + \frac{1 - 16a}{1 - 3a} $

Сначала разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби.

Числитель $4a^2 - 25$ является разностью квадратов:

$ 4a^2 - 25 = (2a)^2 - 5^2 = (2a - 5)(2a + 5) $

Для разложения знаменателя $3a^2 - 10a + 3$ найдем корни квадратного уравнения $3a^2 - 10a + 3 = 0$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Корни: $a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$;

$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Тогда $3a^2 - 10a + 3 = 3(a - 3)(a - \frac{1}{3}) = (a - 3)(3a - 1)$.

Подставим разложенные выражения в исходное:

$ \frac{(2a - 5)(2a + 5)}{(a - 3)(3a - 1)} \cdot \frac{a - 3}{2a + 5} + \frac{1 - 16a}{1 - 3a} $

Сократим общие множители $(a - 3)$ и $(2a + 5)$ в первом слагаемом:

$ \frac{2a - 5}{3a - 1} + \frac{1 - 16a}{1 - 3a} $

Заметим, что $1 - 3a = -(3a - 1)$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{2a - 5}{3a - 1} + \frac{1 - 16a}{-(3a - 1)} = \frac{2a - 5}{3a - 1} - \frac{1 - 16a}{3a - 1} $

Выполним вычитание дробей:

$ \frac{(2a - 5) - (1 - 16a)}{3a - 1} = \frac{2a - 5 - 1 + 16a}{3a - 1} = \frac{18a - 6}{3a - 1} $

Вынесем общий множитель в числителе:

$ \frac{6(3a - 1)}{3a - 1} = 6 $

Ответ: 6

2)

Исходное выражение (символ ":" означает деление):

$ \left( \frac{c}{c+6} + \frac{1}{c-2} - \frac{8}{c^2+4c-12} \right) : \frac{c^2+6c+5}{c+6} $

Сначала упростим выражение в скобках. Разложим на множители знаменатель третьей дроби $c^2+4c-12$.

Корни уравнения $c^2+4c-12=0$ по теореме Виета: $c_1=-6$, $c_2=2$.

Значит, $c^2+4c-12 = (c+6)(c-2)$.

Теперь приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(c+6)(c-2)$:

$ \frac{c(c-2)}{(c+6)(c-2)} + \frac{1(c+6)}{(c+6)(c-2)} - \frac{8}{(c+6)(c-2)} $

Сложим и вычтем числители:

$ \frac{c(c-2) + (c+6) - 8}{(c+6)(c-2)} = \frac{c^2 - 2c + c + 6 - 8}{(c+6)(c-2)} = \frac{c^2 - c - 2}{(c+6)(c-2)} $

Разложим на множители числитель $c^2-c-2$. Корни уравнения $c^2-c-2=0$: $c_1=2$, $c_2=-1$.

Значит, $c^2-c-2 = (c-2)(c+1)$.

Выражение в скобках равно:

$ \frac{(c-2)(c+1)}{(c+6)(c-2)} = \frac{c+1}{c+6} $

Теперь выполним деление:

$ \frac{c+1}{c+6} : \frac{c^2+6c+5}{c+6} = \frac{c+1}{c+6} \cdot \frac{c+6}{c^2+6c+5} $

Разложим на множители знаменатель второй дроби $c^2+6c+5$. Корни уравнения $c^2+6c+5=0$: $c_1=-1$, $c_2=-5$.

Значит, $c^2+6c+5 = (c+1)(c+5)$.

Подставим и сократим общие множители:

$ \frac{c+1}{c+6} \cdot \frac{c+6}{(c+1)(c+5)} = \frac{\cancel{(c+1)}}{\cancel{(c+6)}} \cdot \frac{\cancel{(c+6)}}{(\cancel{c+1})(c+5)} = \frac{1}{c+5} $

Ответ: $ \frac{1}{c+5} $