Номер 7, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 7, страница 107.

Условие.

7. Найдите корни уравнения:

1) $ \frac{x}{x-6} + \frac{x-1}{x+6} = \frac{54-5x}{x^2-36} $

Решение.

Имеем: $ \frac{x}{x-6} + \frac{x-1}{x+6} - \frac{54-5x}{x^2-36} = 0. $

Представим левую часть полученного уравнения в виде дроби: $ \frac{x(x+6) + (x-1)(x-6) - (54-5x)}{(x-6)(x+6)} = 0; $

Ответ:

2) $ \frac{4x-3}{x} - \frac{1}{x-1} = \frac{2x+3}{x^2-x} $

Решение.

Ответ:

3) $ \frac{8}{x^2+4x} - \frac{32}{x^2-4x} = \frac{1}{x} $

Решение.

Имеем: $ \frac{8(x-4)}{x(x+4)(x-4)} - \frac{32(x+4)}{x(x-4)(x+4)} - \frac{x^2-16}{x(x-4)(x+4)} = 0; $

Ответ:

4) $ \frac{2x+3}{x^2-4x+4} - \frac{x-1}{x^2-2x} = \frac{5}{x} $

Решение.

Имеем: $ \frac{x(2x+3)}{x(x-2)^2} - \frac{(x-1)(x-2)}{x(x-2)^2} - \frac{5(x^2-4x+4)}{x(x-2)^2} = 0; $

Ответ:

5) $ \frac{1}{x^2-6x+9} + \frac{6}{x^2-9} + \frac{1}{x+3} = 0. $

Решение.

Ответ:

Решение.

1)

Исходное уравнение: $ \frac{x}{x-6} + \frac{x-1}{x+6} = \frac{54-5x}{x^2-36} $
Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю. Заметим, что $x^2-36 = (x-6)(x+6)$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x-6 \neq 0$ и $x+6 \neq 0$, то есть $x \neq 6$ и $x \neq -6$.
$ \frac{x}{x-6} + \frac{x-1}{x+6} - \frac{54-5x}{(x-6)(x+6)} = 0 $
$ \frac{x(x+6) + (x-1)(x-6) - (54-5x)}{(x-6)(x+6)} = 0 $
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решим уравнение для числителя:
$ x(x+6) + (x-1)(x-6) - 54 + 5x = 0 $
$ x^2 + 6x + x^2 - 6x - x + 6 - 54 + 5x = 0 $
Приведем подобные слагаемые:
$ 2x^2 + 4x - 48 = 0 $
Разделим уравнение на 2:
$ x^2 + 2x - 24 = 0 $
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 + x_2 = -2$, $x_1 \cdot x_2 = -24$.
Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -6$.
Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_2 = -6$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 4.

2)

Исходное уравнение: $ \frac{4x-3}{x} - \frac{1}{x-1} = \frac{2x+3}{x^2-x} $
Перенесем все члены в левую часть. Разложим знаменатель $x^2-x = x(x-1)$.
ОДЗ: $x \neq 0$ и $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 1$.
$ \frac{4x-3}{x} - \frac{1}{x-1} - \frac{2x+3}{x(x-1)} = 0 $
Приведем к общему знаменателю $x(x-1)$:
$ \frac{(4x-3)(x-1) - 1 \cdot x - (2x+3)}{x(x-1)} = 0 $
Приравняем числитель к нулю:
$ (4x-3)(x-1) - x - (2x+3) = 0 $
$ 4x^2 - 4x - 3x + 3 - x - 2x - 3 = 0 $
Приведем подобные слагаемые:
$ 4x^2 - 10x = 0 $
Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:
$ 2x(2x-5) = 0 $
Получаем два корня: $x_1=0$ и $2x-5=0 \Rightarrow x_2 = 2.5$.
Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_1=0$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним. Корень $x_2 = 2.5$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 2.5.

3)

Исходное уравнение: $ \frac{8}{x^2+4x} - \frac{32}{x^2-4x} = \frac{1}{x} $
Разложим знаменатели на множители: $x^2+4x=x(x+4)$ и $x^2-4x=x(x-4)$.
ОДЗ: $x \neq 0$, $x+4 \neq 0$, $x-4 \neq 0$. То есть $x \neq 0, x \neq -4, x \neq 4$.
Перенесем все члены в левую часть:
$ \frac{8}{x(x+4)} - \frac{32}{x(x-4)} - \frac{1}{x} = 0 $
Общий знаменатель $x(x-4)(x+4)$.
$ \frac{8(x-4) - 32(x+4) - 1(x-4)(x+4)}{x(x-4)(x+4)} = 0 $
Приравняем числитель к нулю:
$ 8(x-4) - 32(x+4) - (x^2-16) = 0 $
$ 8x - 32 - 32x - 128 - x^2 + 16 = 0 $
Приведем подобные слагаемые:
$ -x^2 - 24x - 144 = 0 $
Умножим уравнение на -1:
$ x^2 + 24x + 144 = 0 $
Это полный квадрат: $(x+12)^2 = 0$.
Корень уравнения: $x = -12$.
Корень $x = -12$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: -12.

4)

Исходное уравнение: $ \frac{2x+3}{x^2-4x+4} - \frac{x-1}{x^2-2x} = \frac{5}{x} $
Разложим знаменатели на множители: $x^2-4x+4=(x-2)^2$ и $x^2-2x=x(x-2)$.
ОДЗ: $x \neq 0$ и $x-2 \neq 0$. То есть $x \neq 0, x \neq 2$.
Перенесем все члены в левую часть:
$ \frac{2x+3}{(x-2)^2} - \frac{x-1}{x(x-2)} - \frac{5}{x} = 0 $
Общий знаменатель $x(x-2)^2$.
$ \frac{x(2x+3) - (x-1)(x-2) - 5(x-2)^2}{x(x-2)^2} = 0 $
Приравняем числитель к нулю:
$ x(2x+3) - (x-1)(x-2) - 5(x-2)^2 = 0 $
$ 2x^2+3x - (x^2-3x+2) - 5(x^2-4x+4) = 0 $
$ 2x^2+3x - x^2+3x-2 - 5x^2+20x-20 = 0 $
Приведем подобные слагаемые:
$ -4x^2 + 26x - 22 = 0 $
Разделим уравнение на -2:
$ 2x^2 - 13x + 11 = 0 $
Найдем дискриминант: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 169 - 88 = 81 = 9^2$.
Корни: $x_1 = \frac{13+9}{4} = \frac{22}{4} = 5.5$ и $x_2 = \frac{13-9}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: 1; 5.5.

5)

Исходное уравнение: $ \frac{1}{x^2-6x+9} + \frac{6}{x^2-9} + \frac{1}{x+3} = 0 $
Разложим знаменатели на множители: $x^2-6x+9=(x-3)^2$ и $x^2-9=(x-3)(x+3)$.
ОДЗ: $x-3 \neq 0$ и $x+3 \neq 0$. То есть $x \neq 3, x \neq -3$.
Приведем к общему знаменателю $(x-3)^2(x+3)$:
$ \frac{1(x+3)}{(x-3)^2(x+3)} + \frac{6(x-3)}{(x-3)^2(x+3)} + \frac{1(x-3)^2}{(x-3)^2(x+3)} = 0 $
Приравняем числитель к нулю:
$ (x+3) + 6(x-3) + (x-3)^2 = 0 $
$ x+3 + 6x - 18 + x^2 - 6x + 9 = 0 $
Приведем подобные слагаемые:
$ x^2 + x - 6 = 0 $
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 + x_2 = -1$, $x_1 \cdot x_2 = -6$.
Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.
Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним. Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 2.