Номер 10, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 10, страница 115.

Условие.

10. Для каждого значения $a$ решите уравнение:

1) $\frac{x^2 - 10x + 9}{x - a} = 0;$

Решение.

Данное уравнение равносильно системе $\begin{cases} x^2 - 10x + 9 = 0, \\ x \neq a. \end{cases}$

Уравнение $x^2 - 10x + 9 = 0$ имеет корни $x_1 = 1$ и $x_2 = \_\_\_\_\_\_.$

Следовательно, если $a = 1$, то $x = \_\_\_\_\_\_,$

если $a = \_\_\_\_\_\_$, то $x = \_\_\_\_\_\_;$

если $a \neq 1$ и $\_\_\_\_\_\_$, то $\_\_\_\_\_\_$

2) $\frac{x - a}{x^2 - 10x + 9} = 0.$

Решение.

Решение.

1) Решим уравнение $\frac{x^2 - 10x + 9}{x - a} = 0$.

Данное уравнение равносильно системе, в которой числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$ \begin{cases} x^2 - 10x + 9 = 0, \\ x - a \neq 0. \end{cases} $$

Сначала найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 10x + 9 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 9. Отсюда легко находятся корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 9$.

Теперь необходимо учесть условие $x \neq a$ из системы. Это означает, что найденные корни $x=1$ и $x=9$ являются решениями исходного уравнения только в том случае, если они не равны параметру $a$.

Рассмотрим три возможных случая для параметра $a$:

Случай 1: если $a = 1$. В этом случае корень $x=1$ является посторонним, так как при $x=1$ знаменатель $x-a$ обращается в ноль. Следовательно, единственным решением уравнения будет $x = 9$.

Случай 2: если $a = 9$. В этом случае корень $x=9$ является посторонним по той же причине. Единственным решением будет $x = 1$.

Случай 3: если $a \neq 1$ и $a \neq 9$. В этом случае ни один из корней числителя не совпадает со значением $a$. Таким образом, оба корня, $x=1$ и $x=9$, удовлетворяют условию $x \neq a$ и являются решениями исходного уравнения.

Ответ: если $a=1$, то $x=9$; если $a=9$, то $x=1$; если $a \neq 1$ и $a \neq 9$, то $x_1=1, x_2=9$.

2) Решим уравнение $\frac{x - a}{x^2 - 10x + 9} = 0$.

Это уравнение также равносильно системе:

$$ \begin{cases} x - a = 0, \\ x^2 - 10x + 9 \neq 0. \end{cases} $$

Из первого уравнения системы следует, что $x = a$.

Второе условие, $x^2 - 10x + 9 \neq 0$, означает, что $x$ не должен быть равен корням знаменателя. Как мы установили в предыдущем задании, корни уравнения $x^2 - 10x + 9 = 0$ это $x=1$ и $x=9$. Следовательно, должно выполняться условие $x \neq 1$ и $x \neq 9$.

Поскольку решение уравнения $x=a$, оно будет являться корнем исходного уравнения только при условии, что сам параметр $a$ не равен 1 и не равен 9.

Рассмотрим два возможных случая для параметра $a$:

Случай 1: если $a = 1$ или $a = 9$. В этих случаях потенциальный корень $x=a$ совпадает с одним из корней знаменателя, что делает знаменатель равным нулю. Таким образом, при таких значениях $a$ уравнение не имеет решений.

Случай 2: если $a \neq 1$ и $a \neq 9$. В этом случае при $x=a$ числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Следовательно, $x=a$ является единственным решением уравнения.

Ответ: если $a=1$ или $a=9$, то корней нет; если $a \neq 1$ и $a \neq 9$, то $x=a$.