Номер 12, страница 156, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

12. Первая труба пропускает на 12 л воды в минуту больше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 96 л она заполняет на 4 мин быстрее, чем вторая?

Пусть производительность второй трубы равна $x$ литров в минуту. Тогда, согласно условию, производительность первой трубы равна $(x + 12)$ литров в минуту.

Объём резервуара составляет 96 литров. Время, за которое вторая труба заполнит резервуар, равно $t_2 = \frac{96}{x}$ минут. Время, за которое первая труба заполнит резервуар, равно $t_1 = \frac{96}{x+12}$ минут.

Известно, что первая труба заполняет резервуар на 4 минуты быстрее, чем вторая. Это означает, что разница во времени заполнения составляет 4 минуты: $t_2 - t_1 = 4$.

Составим и решим уравнение:

$\frac{96}{x} - \frac{96}{x+12} = 4$

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения:

$\frac{24}{x} - \frac{24}{x+12} = 1$

Приведём левую часть к общему знаменателю $x(x+12)$:

$\frac{24(x+12) - 24x}{x(x+12)} = 1$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{24x + 288 - 24x}{x^2 + 12x} = 1$

$\frac{288}{x^2 + 12x} = 1$

Так как производительность $x > 0$, знаменатель не равен нулю. Можем записать уравнение в виде:

$x^2 + 12x = 288$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 12x - 288 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-288) = 144 + 1152 = 1296$

Найдём корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{1296}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 \pm 36}{2}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{-12 + 36}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-12 - 36}{2} = \frac{-48}{2} = -24$

Поскольку производительность трубы ($x$) не может быть отрицательной, корень $x_2 = -24$ не соответствует условию задачи. Следовательно, производительность второй трубы равна 12 л/мин.

Вопрос задачи — найти, сколько литров воды в минуту пропускает первая труба. Её производительность равна $x+12$.

$12 + 12 = 24$ л/мин.

Ответ: 24