Номер 11, страница 156, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

11. Велосипедист проехал 13 км за 1 ч. Первые 9 км он проехал с определённой скоростью, а остальную часть пути — со скоростью, на $4 \text{ км/ч}$ большей. Найдите первоначальную скорость велосипедиста.

Пусть $x$ км/ч — первоначальная скорость велосипедиста. Тогда первые 9 км он проехал за время $t_1 = \frac{9}{x}$ ч.

Оставшуюся часть пути, равную $13 - 9 = 4$ км, он проехал со скоростью, на 4 км/ч большей, то есть $(x + 4)$ км/ч. Время, затраченное на вторую часть пути, составляет $t_2 = \frac{4}{x + 4}$ ч.

Так как общее время в пути равно 1 часу, можно составить и решить уравнение:

$t_1 + t_2 = 1$

$\frac{9}{x} + \frac{4}{x + 4} = 1$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x + 4)$, при условии что $x \neq 0$ и $x \neq -4$ (что соответствует условию, так как скорость — положительная величина):

$9(x + 4) + 4x = x(x + 4)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$9x + 36 + 4x = x^2 + 4x$

$13x + 36 = x^2 + 4x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 4x - 13x - 36 = 0$

$x^2 - 9x - 36 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225$

$\sqrt{D} = 15$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 15}{2 \cdot 1} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 15}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, первоначальная скорость велосипедиста равна 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.