Номер 9, страница 156, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

9. Решите уравнение $\frac{2x^2 + 14x + 20}{x^2 - 25} = 1$.

Для решения данного рационального уравнения необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$$ x^2 - 25 \neq 0 $$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$$ (x - 5)(x + 5) \neq 0 $$

Отсюда получаем, что $x \neq 5$ и $x \neq -5$.

2. Умножим обе части уравнения на выражение в знаменателе $x^2 - 25$, при условии, что оно не равно нулю (что мы уже учли в ОДЗ):

$$ 2x^2 + 14x + 20 = 1 \cdot (x^2 - 25) $$

$$ 2x^2 + 14x + 20 = x^2 - 25 $$

3. Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить приведенное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$$ 2x^2 - x^2 + 14x + 20 + 25 = 0 $$

$$ x^2 + 14x + 45 = 0 $$

4. Решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать с помощью теоремы Виета или через дискриминант.

По теореме Виета:

Сумма корней $x_1 + x_2$ должна быть равна $-14$, а их произведение $x_1 \cdot x_2$ должно быть равно $45$. Подбором находим корни:

$$ x_1 = -5 $$

$$ x_2 = -9 $$

Проверка: $(-5) + (-9) = -14$ и $(-5) \cdot (-9) = 45$.

Через дискриминант:

$$ D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 196 - 180 = 16 $$

$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-14 \pm 4}{2} $$

$$ x_1 = \frac{-14 - 4}{2} = \frac{-18}{2} = -9 $$

$$ x_2 = \frac{-14 + 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5 $$

5. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 5$ и $x \neq -5$).

Корень $x = -5$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним корнем.

Корень $x = -9$ удовлетворяет ОДЗ.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: -9