Страница 156 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

7. Сократите дробь $\frac{x^2 - 27x + 140}{x^2 - x - 42}$.

Для сокращения дроби необходимо разложить на множители её числитель и знаменатель. Квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ раскладывается на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Сначала разложим на множители числитель $x^2 - 27x + 140$. Для этого решим уравнение $x^2 - 27x + 140 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 140 = 729 - 560 = 169 = 13^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 - 13}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 + 13}{2} = \frac{40}{2} = 20$

Следовательно, числитель можно представить в виде произведения:

$x^2 - 27x + 140 = (x - 7)(x - 20)$

Теперь разложим на множители знаменатель $x^2 - x - 42$. Для этого решим уравнение $x^2 - x - 42 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169 = 13^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 13}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 13}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Следовательно, знаменатель можно представить в виде произведения:

$x^2 - x - 42 = (x - (-6))(x - 7) = (x + 6)(x - 7)$

Подставим полученные разложения в исходную дробь и сократим общий множитель $(x-7)$:

$\frac{x^2 - 27x + 140}{x^2 - x - 42} = \frac{(x - 7)(x - 20)}{(x + 6)(x - 7)} = \frac{x - 20}{x + 6}$

Сокращение возможно при условии, что $x-7 \neq 0$, то есть $x \neq 7$.

Ответ: $\frac{x-20}{x+6}$

8. Решите уравнение $x - \frac{20}{x} = 8.$

Исходное уравнение: $x - \frac{20}{x} = 8$.

Это рациональное уравнение. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как в уравнении есть деление на $x$, знаменатель не может быть равен нулю, то есть $x \neq 0$.

Далее, чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $x$:
$x \cdot \left(x - \frac{20}{x}\right) = 8 \cdot x$
$x^2 - 20 = 8x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 8x - 20 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-8$, $c=-20$.
Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 12}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 12}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Оба найденных корня, $10$ и $-2$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$), поэтому оба являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $-2; 10$.

9. Решите уравнение $\frac{2x^2 + 14x + 20}{x^2 - 25} = 1$.

Для решения данного рационального уравнения необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$$ x^2 - 25 \neq 0 $$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$$ (x - 5)(x + 5) \neq 0 $$

Отсюда получаем, что $x \neq 5$ и $x \neq -5$.

2. Умножим обе части уравнения на выражение в знаменателе $x^2 - 25$, при условии, что оно не равно нулю (что мы уже учли в ОДЗ):

$$ 2x^2 + 14x + 20 = 1 \cdot (x^2 - 25) $$

$$ 2x^2 + 14x + 20 = x^2 - 25 $$

3. Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить приведенное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$$ 2x^2 - x^2 + 14x + 20 + 25 = 0 $$

$$ x^2 + 14x + 45 = 0 $$

4. Решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать с помощью теоремы Виета или через дискриминант.

По теореме Виета:

Сумма корней $x_1 + x_2$ должна быть равна $-14$, а их произведение $x_1 \cdot x_2$ должно быть равно $45$. Подбором находим корни:

$$ x_1 = -5 $$

$$ x_2 = -9 $$

Проверка: $(-5) + (-9) = -14$ и $(-5) \cdot (-9) = 45$.

Через дискриминант:

$$ D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 196 - 180 = 16 $$

$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-14 \pm 4}{2} $$

$$ x_1 = \frac{-14 - 4}{2} = \frac{-18}{2} = -9 $$

$$ x_2 = \frac{-14 + 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5 $$

5. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 5$ и $x \neq -5$).

Корень $x = -5$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним корнем.

Корень $x = -9$ удовлетворяет ОДЗ.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: -9

10. Найдите корни уравнения

$(x^2 + 4x)^2 - 9(x^2 + 4x) + 20 = 0$

Данное уравнение можно решить методом введения новой переменной, так как выражение $x^2 + 4x$ встречается в нем дважды.

Пусть $t = x^2 + 4x$.

Тогда исходное уравнение можно переписать в виде квадратного уравнения относительно переменной $t$:

$t^2 - 9t + 20 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней: $t_1 + t_2 = 9$
• Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = 20$

Подбором находим корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = 5$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $t$ и решить получившиеся уравнения относительно $x$.

Случай 1: $t = 4$

$x^2 + 4x = 4$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 4x - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 + 16 = 32$

Корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2}$

Таким образом, мы получили два корня: $x_1 = -2 - 2\sqrt{2}$ и $x_2 = -2 + 2\sqrt{2}$.

Случай 2: $t = 5$

$x^2 + 4x = 5$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 4x - 5 = 0$

Это квадратное уравнение также можно решить по теореме Виета. Сумма корней равна -4, а произведение -5. Корни:

$x_3 = -5$ и $x_4 = 1$.

Итак, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-5; -2 - 2\sqrt{2}; -2 + 2\sqrt{2}; 1$.

11. Велосипедист проехал 13 км за 1 ч. Первые 9 км он проехал с определённой скоростью, а остальную часть пути — со скоростью, на $4 \text{ км/ч}$ большей. Найдите первоначальную скорость велосипедиста.

Пусть $x$ км/ч — первоначальная скорость велосипедиста. Тогда первые 9 км он проехал за время $t_1 = \frac{9}{x}$ ч.

Оставшуюся часть пути, равную $13 - 9 = 4$ км, он проехал со скоростью, на 4 км/ч большей, то есть $(x + 4)$ км/ч. Время, затраченное на вторую часть пути, составляет $t_2 = \frac{4}{x + 4}$ ч.

Так как общее время в пути равно 1 часу, можно составить и решить уравнение:

$t_1 + t_2 = 1$

$\frac{9}{x} + \frac{4}{x + 4} = 1$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x + 4)$, при условии что $x \neq 0$ и $x \neq -4$ (что соответствует условию, так как скорость — положительная величина):

$9(x + 4) + 4x = x(x + 4)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$9x + 36 + 4x = x^2 + 4x$

$13x + 36 = x^2 + 4x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 4x - 13x - 36 = 0$

$x^2 - 9x - 36 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225$

$\sqrt{D} = 15$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 15}{2 \cdot 1} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 15}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, первоначальная скорость велосипедиста равна 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.

12. Первая труба пропускает на 12 л воды в минуту больше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 96 л она заполняет на 4 мин быстрее, чем вторая?

Пусть производительность второй трубы равна $x$ литров в минуту. Тогда, согласно условию, производительность первой трубы равна $(x + 12)$ литров в минуту.

Объём резервуара составляет 96 литров. Время, за которое вторая труба заполнит резервуар, равно $t_2 = \frac{96}{x}$ минут. Время, за которое первая труба заполнит резервуар, равно $t_1 = \frac{96}{x+12}$ минут.

Известно, что первая труба заполняет резервуар на 4 минуты быстрее, чем вторая. Это означает, что разница во времени заполнения составляет 4 минуты: $t_2 - t_1 = 4$.

Составим и решим уравнение:

$\frac{96}{x} - \frac{96}{x+12} = 4$

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения:

$\frac{24}{x} - \frac{24}{x+12} = 1$

Приведём левую часть к общему знаменателю $x(x+12)$:

$\frac{24(x+12) - 24x}{x(x+12)} = 1$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{24x + 288 - 24x}{x^2 + 12x} = 1$

$\frac{288}{x^2 + 12x} = 1$

Так как производительность $x > 0$, знаменатель не равен нулю. Можем записать уравнение в виде:

$x^2 + 12x = 288$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 12x - 288 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-288) = 144 + 1152 = 1296$

Найдём корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{1296}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 \pm 36}{2}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{-12 + 36}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-12 - 36}{2} = \frac{-48}{2} = -24$

Поскольку производительность трубы ($x$) не может быть отрицательной, корень $x_2 = -24$ не соответствует условию задачи. Следовательно, производительность второй трубы равна 12 л/мин.

Вопрос задачи — найти, сколько литров воды в минуту пропускает первая труба. Её производительность равна $x+12$.

$12 + 12 = 24$ л/мин.

Ответ: 24