Страница 151 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Найдите корни квадратного трёхчлена $3x^2 - 5x - 2$.

1) $-\frac{1}{3}$; $2$

2) $-2$; $\frac{1}{3}$

3) $-\frac{2}{3}$; $1$

4) $-1$; $\frac{2}{3}$

Чтобы найти корни квадратного трёхчлена $3x^2 - 5x - 2$, необходимо приравнять его к нулю и решить полученное квадратное уравнение:

$3x^2 - 5x - 2 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны $a = 3$, $b = -5$, $c = -2$.

Сначала вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 - (-24) = 25 + 24 = 49$

Так как дискриминант $D = 49 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Теперь найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Таким образом, корнями данного квадратного трёхчлена являются числа $2$ и $-\frac{1}{3}$.

Эта пара корней соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: 1) $-\frac{1}{3}; 2$

2. Разложив квадратный трёхчлен на множители, получили: $x^2 - 4x - 32 = (x - 8)(x - a)$. Найдите значение $a$.

Для нахождения значения a в тождестве $x^2 - 4x - 32 = (x - 8)(x - a)$ можно воспользоваться одним из следующих способов.

Способ 1: Раскрытие скобок и сравнение коэффициентов

Раскроем скобки в правой части равенства:

$(x - 8)(x - a) = x \cdot x - x \cdot a - 8 \cdot x + 8 \cdot a = x^2 - (a + 8)x + 8a$

Теперь мы имеем тождество:

$x^2 - 4x - 32 = x^2 - (a + 8)x + 8a$

Так как это равенство верно для любого значения x, коэффициенты при одинаковых степенях переменной в обеих частях должны быть равны. Приравняем коэффициенты при x и свободные члены:

$-(a + 8) = -4$
$8a = -32$

Решим второе уравнение, так как оно проще:

$8a = -32$

$a = \frac{-32}{8}$

$a = -4$

Для проверки можно подставить найденное значение в первое уравнение:

$-( -4 + 8) = -(4) = -4$.

$-4 = -4$. Равенство верное.

Способ 2: Нахождение корней квадратного трёхчлена

Разложение квадратного трёхчлена $Ax^2 + Bx + C$ на множители имеет вид $A(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — это корни уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$.

В нашем случае из выражения $(x - 8)(x - a)$ видно, что корнями трёхчлена являются $x_1 = 8$ и $x_2 = a$.

Для квадратного уравнения $x^2 - 4x - 32 = 0$ по теореме Виета произведение корней равно свободному члену:

$x_1 \cdot x_2 = -32$

Подставим известный корень $x_1 = 8$:

$8 \cdot x_2 = -32$

$x_2 = \frac{-32}{8}$

$x_2 = -4$

Так как $x_2 = a$, то $a = -4$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: -4

3. Укажите верное равенство.

1) $7x^2 + x - 8 = (x - 1)\left(x + \frac{8}{7}\right)$

2) $7x^2 + x - 8 = (x + 1)\left(x - \frac{8}{7}\right)$

3) $7x^2 + x - 8 = (x - 1)(7x + 8)$

4) $7x^2 + x - 8 = (x + 1)(7x - 8)$

Для того чтобы указать верное равенство, нужно разложить квадратный трехчлен $7x^2 + x - 8$ на множители. Разложение квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ на множители имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ являются корнями квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Сначала найдем корни уравнения $7x^2 + x - 8 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=7$, $b=1$, $c=-8$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-8) = 1 + 224 = 225$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{225}}{2 \cdot 7} = \frac{-1 - 15}{14} = \frac{-16}{14} = -\frac{8}{7}$
$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{225}}{2 \cdot 7} = \frac{-1 + 15}{14} = \frac{14}{14} = 1$

Теперь подставим найденные корни $x_1 = -\frac{8}{7}$ и $x_2 = 1$ в формулу разложения на множители:
$7x^2 + x - 8 = 7\left(x - \left(-\frac{8}{7}\right)\right)(x - 1) = 7\left(x + \frac{8}{7}\right)(x - 1)$.

Преобразуем полученное выражение, внеся множитель 7 в первую скобку:
$7\left(x + \frac{8}{7}\right)(x - 1) = (7 \cdot x + 7 \cdot \frac{8}{7})(x - 1) = (7x + 8)(x - 1)$.

Таким образом, мы разложили трехчлен на множители: $7x^2 + x - 8 = (7x + 8)(x - 1)$.

Теперь проверим предложенные варианты равенств.

1) $7x^2 + x - 8 = (x - 1)\left(x + \frac{8}{7}\right)$
Раскроем скобки в правой части: $(x - 1)(x + \frac{8}{7}) = x^2 + \frac{8}{7}x - x - \frac{8}{7} = x^2 + \frac{1}{7}x - \frac{8}{7}$. Это выражение не равно $7x^2 + x - 8$. Равенство неверно.
Ответ: неверно.

2) $7x^2 + x - 8 = (x + 1)\left(x - \frac{8}{7}\right)$
Раскроем скобки в правой части: $(x + 1)(x - \frac{8}{7}) = x^2 - \frac{8}{7}x + x - \frac{8}{7} = x^2 - \frac{1}{7}x - \frac{8}{7}$. Это выражение не равно $7x^2 + x - 8$. Равенство неверно.
Ответ: неверно.

3) $7x^2 + x - 8 = (x - 1)(7x + 8)$
Раскроем скобки в правой части: $(x - 1)(7x + 8) = 7x^2 + 8x - 7x - 8 = 7x^2 + x - 8$. Правая часть совпадает с левой. Это равенство совпадает с полученным нами разложением. Равенство верно.
Ответ: верно.

4) $7x^2 + x - 8 = (x + 1)(7x - 8)$
Раскроем скобки в правой части: $(x + 1)(7x - 8) = 7x^2 - 8x + 7x - 8 = 7x^2 - x - 8$. Это выражение не равно $7x^2 + x - 8$. Равенство неверно.
Ответ: неверно.

4. На одном из приведённых рисунков изображён график функции $y = \frac{5x - x^2 - 6}{x - 3}$. Укажите этот рисунок.

Чтобы определить, какой из рисунков изображает график функции $y = \frac{5x - x^2 - 6}{x - 3}$, необходимо проанализировать и упростить данную функцию.

1. Нахождение области определения функции.

Функция представляет собой дробь, поэтому её знаменатель не может быть равен нулю.
$x - 3 \neq 0$
$x \neq 3$
Это означает, что функция не определена в точке $x = 3$, и на её графике в этом месте будет разрыв (так называемая "выколотая" точка). Из предложенных графиков только 2 и 4 имеют выколотую точку, следовательно, графики 1 и 3 не подходят.

2. Упрощение выражения функции.

Разложим числитель $5x - x^2 - 6$ на множители. Для удобства вынесем минус за скобки: $-(x^2 - 5x + 6)$.
Теперь найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни:
$x_1 + x_2 = 5$
$x_1 \cdot x_2 = 6$
Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Следовательно, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.
Подставим разложение числителя в исходную функцию:
$y = \frac{-(x - 2)(x - 3)}{x - 3}$
Так как из области определения мы знаем, что $x \neq 3$, мы можем сократить дробь на $(x - 3)$:
$y = -(x - 2)$
$y = -x + 2$

3. Анализ полученной линейной функции и выбор графика.

График исходной функции совпадает с графиком прямой $y = -x + 2$ за исключением точки при $x=3$.
Угловой коэффициент этой прямой $k = -1$ является отрицательным, что означает, что функция убывающая. Графики 3 и 4 изображают возрастающие функции, поэтому они не подходят.
Таким образом, искомый график — это убывающая прямая с выколотой точкой. Этим условиям удовлетворяет только график под номером 2.
Для окончательной проверки найдем координаты выколотой точки. Для этого подставим значение $x = 3$ в уравнение прямой $y = -x + 2$:
$y = -3 + 2 = -1$
Координаты выколотой точки — $(3; -1)$. На графике 2 мы видим, что точка с координатами $(3; -1)$ действительно выколота.

Ответ: 2